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測度０の集合の補集合は稠密？
「AがR^nで測度０のときその補集合はR^nで稠密になることは明らか」 とあったのですがどうやって示せばいいのかわかりません． イメージ的には納得いきますが．．． 証明の方法を教えてほしいです．よろしくお願いいたします．
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一般の測度でやると反例があるので、ルベーグ測度と明記しておくべきです。 さて、まず集合論の簡単な復習から。AをR^nの任意の集合とするとき、int(A)でAの内点全体を表すことにします。またc(A)でAの閉包を表すことにしましょう。int(A)はAに含まれる最大の開集合、c(A)はAを含む最小の閉集合なので、 int(A)=∪G（ただしG:openはAに含まれる） c(A)=∩F（ただしF:closedはAを含む） と表現することが出来ます。したがって、^cで補集合を取る操作を表すとすると、 {int(A)}^c=(∪G)^c=(∩G^c)=(*) です。G^cはA^cを含む閉集合全体を動けますから、 (*)=c(A^c) です。結局、{int(A)}^c=c(A^c)なわけです。この主張はいろいろな所でよく使うので、記憶されているとよいと思います。 さて、μ(A)=0ということはAは内点を持ちません（持てば測度は必ず正になります）から、int(A)=φですが、この補集合をとれば、c(A^c)=R^nです。すなわちA^cはR^nで稠密です。
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- adinat
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> 内点をもてば必ず正の測度をもつというのは > ルベーグ測度では成り立ち一般の測度では成 > り立たないということでしょうか？ そうです。極端な例では、全測度が0になるような測度を考えると、明らかに反例です。どんな集合でも測度0ですから。そこまで極端な例でなくても、μをルベーグ測度として、C⊆R^nをある可測集合とするとき、μ_C(A):=μ(A∩C)で測度μ_Cを定義してやると、これも反例です。ルベーグ測度をCに制限した測度と呼ばれますが、Cの外の集合は内点があろうがなかろうが、測度0です。 もっと一般に、ルベーグ測度に特異な測度を考えるとたくさん反例があります。たとえばカントール測度などは、カントール集合にしかmassを持たないので、明らかに反例を与えます。 full supportな測度、すなわち任意の球に対して、その測度が0にならないような測度でないと、このような主張は成り立たないというわけです。
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