稠密についての問題

質問

「ＢをＫ/2^n（ｎ=0，1，2，・・・；ｋ＝0，1，２，・・、2^ｎ）という形の数全体とする。Ｂは［0，1］のなかで、稠密であることを示せ。ただし、Ｂ⊆［0，1］のとき、Ｂは［0，1］のなかで稠密⇔［0，1］∩（ａ，ｂ）≠φならばＢ∩（a,b）≠φは用いてよい。」
この問題なのですが、自分は、背理法で、［0，1］∩（a，b）≠φであってかつB∩（a，b）＝φとして矛盾を導き出そうとしたのですが、（a，b）⊆［0，1］のときには、（0.5，1）は、［0，1］とは共通部分をもつが、Bとはもたないのですが。自分のやり方がいけないのでしょうか？誰か教えてください、お願いします。

回答No.3

milkysugar · ベストアンサー

正直「明らか」で終わってしまってもいいくらいなので，かえって説明は面倒なのですが，さすがにそれではよくないので，「私ならこう書く」というのを載せます．

(a,b)∋0 or 1ならばn=0, k=0, 1とおけばk/2^n はB∩(a,b)の元である．
そうでなければ(a,b)⊂[0,1]，つまり 0<a<b<1 である．
この時 0 < b-a < 1 より 1/2^m < b-a ≦ 1/2^(m-1) なる自然数mが存在する．
n=mと置けば， k-1/2^n < a < k/2^n なる自然数k (0≦k≦2^n)が存在する．
この時，k/2^n - a < k/2^n - (k-1)/2^n = 1/2^n < b-a より k/2^n < b.
以上より k/2^n ∈ (a,b)である．k/2^n∈Bだから題意は示された．

＃εとかを持ち出す必要は無いように思います

お礼

大変親切な回答ありがとうございました。理解しました。ありがとうございます☆

回答No.2

milkysugar

すいません，#1の「お礼」に対しての文です．
その方向で正しいと思いますよ．

お礼

では、［0，1］∩(a，b)≠φより、∃ｘ∈［0，1］∩(a，b)となるｘがとれる。よって、∃ε＞０存在して(x-ε，x+ε)∩(a，b)≠φ、このとき、∃ｎ∈N；ｋ/2＾n∈(x-ε，x+ε)∩(a，b)となるものがとれる。よって矛盾。というのは駄目ですかね？添削もお願いしたいです。よろしくお願いします。

回答No.1

milkysugar

3/4は(0.5,1)∩[0,1]の元であり，かつn=2, k=3≦2^nだからBの元ですよ．問題条件の読み落しではないでしょうか．

上のことに気づけば稠密性はすぐだと思いますが…数直線上にプロットしてみようとすれば，たくさんあることにすぐ気づきますよ．

お礼

回答ありがとうございます！ｋは0，1，2，2＾nではなくて、2＾nまでの整数と見ていいのですね。ですと、自分の背理法で示すこともできるのですよね？？