期待値の問題です！！助けてください（TT）

質問

確率の期待値の問題です。
式は合っていると思うのですが、詰まってしまいました(..;)
ヒントをいただけたら嬉しいです。

今、ちょうどｎ回目のゲームで、事象Ａが起こる確率Ａ[ｎ]は
n≧2で、
A[n]＝{(2^n-1)-2}/3^n-1
です。
(↑指数はともにn-1)

ここで、Nを３以上の自然数とし、事象Aがおこるか、あるいはゲームの回数がN回に達するか、どち
らかが起こるまでゲームをします。
ゲームを行なう回数の期待値B[N]を求めよ。

という問題です。

僕の方針は

B[5]＝3*A[3]＋4*A[4]＋5*{1－(A[3]＋A[4])}
となるので

B[N]＝{Σ[k＝3～N-1]k*A[k]}＋N{1－Σ[k＝3～N-1]A[k]}

となるから、これを展開して…

というものですが、ここから先の計算が、とても複雑になって、解けなくなってしまいました。

この式の立て方が良くないのでしょうか？
それとも、計算力が足りないのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.2

jamf0421 · ベストアンサー

A[n]というのが、たとえば、良く混ぜたトランプからn回目に初めて赤の札を引く確率が(1/2)^nである、というような意味ならば質問者さんの考え方でよろしいと思います。
Σ(2→∞)A[n]=1
は明らかですから、要するに
B[N]=Σ(3→N)k*A[k]+NΣ(N+1→∞）A[k]
ではないでしょうか。ΣA[k]は等比級数の差の形に分解できて片付きますね。第一項はΣk*r^(k-1)の形の級数の和が出せればよいのでしょう。

お礼

少し悩みましたが…

わかりました！！
凄い…凄いです！

僕は、式を立てるときに

『N-1回目までに事象Aが起こらなければ、N回目のゲームを行なうことになる』と考えたのですが
N-1が計算をややこしくしていたんですね。
問題文のとおりに、事象Aが起こって終了する場合と、ゲームがN回に達して終了する場合とを、別で
カウントしたほうが良かったんですね。
そこまでの工夫は自分でも見つけられるべきでした(..)

でも、A[n]の極限値が1になることが、このように使えるとは全く思い付きませんでした！
ありがとうございます！

後の計算は、(自分で複雑な式を立てたときに何度も計算したので)大丈夫です。

ありがとうございました！

回答No.1

cametan_42

うげえ。確かに計算シチメンド臭そうですね(笑)。
よって方針だけ。

＞僕の方針は

＞B[5]＝3*A[3]＋4*A[4]＋5*{1－(A[3]＋A[4])}

＞となる

なんないんじゃないですかね?「Aがn回目で起こる確率」を表すなら、「n－1回目に失敗する確率」を考えないといけません。何故なら、事象Aが起こると「ゲームは終了する」わけでしょう?従って、題意としては「失敗し続ける」のがある意味前提になる、んです。
従って、式の立て方は次のようになると思います。

B[n]＝3*A[3]＋4*(1－A[3])*A[4]＋5*{(1－A[3])*(1－A[4])*A[5]}＋……

うわ、これは考えただけで「嫌な」計算ですね(笑)。あとは「計算力がある人に」バトンタッチしたいと思います(笑)。

なお、こう言う分布は「幾何分布」からもじったものだと思うんですが、

幾何分布:
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/Bunpu/kika.html

この「幾何分布」そのものも、マトモに「定義通りに」期待値計算しようとするとドツボにハマります。
んで、数学的トリックを用いて「モーメント母関数」っての設定して期待値計算してやるんですよ。
恐らく、(これは勘ですが)この問題も「マトモに期待値計算しよう」とせんで、モーメント母関数作って計算した方が上手く行きそうな気がしますね。正攻法にはタチが悪い問題じゃないか、と。
モーメント母関数を用いた幾何分布の期待値の求め方、に付いては次のURLを参考にしてください。

幾何分布:
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/prob/node16.html

また、モーメント母関数に付いては次のPDFで優しく解説されています。

確率分布とモーメント、モーメント母関数:
http://laskin.mis.hiroshima-u.ac.jp/Kougi/08a/IS/IS03pr.pdf

と言うわけで、資料は渡したので計算頑張ってください(笑)。

お礼

ええと、
僕の書き方が悪かったのですが、この問題は、回答NO.2をつけてくださったjamf0421さんのいうとおりで、
A[n]は「ちょうどｎ回目に初めて、キャンディが三色揃う確率」というものなのです。
この問題は前置きがとても長く、質問させていただいたのは(5)番の問題だったので、省略してしまったんです。本当に申し訳ありません。

ですから、回答はjamf0421さんの考え方(今から計算して確認しますが)があっていると思います。

でも、URLを紹介していただいてありがとうございます。
少し条件が違うと、いろいろなことを考えなくてはならないんだなあと思い、とても参考になりました。
幾何分布にも興味を持ったので、サイトをまわって勉強したいと思います。
本当にありがとうございました！！