確率の問題です

質問

「ある試行で事象Aの起こる確率をPとする。この試行を独立にn回繰り返すとき、事象Aがちょうどk回起こる確率は、
nCk p^k・(1-p)^(n-k)」 だというのはわかるのですが、
その期待値の Σ(from k=0 to n)k・nCk p^k・(1-p)^(n-k)というのがよくわかりません。シグマがあったり nCk p^k・(1-p)^(n-k) のまえについているkがあったりするのは理解に苦しむのですが。例えば、k=3のときを考えてみると、Σ(from k=0 to n)k・nCk p^k・(1-p)^(n-k)の式のkのところに３を代入すればよいのですよね。そうすると、
「from k=0 to n」のところのk=0 にも入れるのでしょうか。「from 3=0 to n」になってしまうと思うのですが。
よろしくお願いします。

回答No.6

stomachman · ベストアンサー

●期待値の意味
くじを引いて、
0円貰える確率 (すか） P0
10円貰える確率 P1
50円貰える確率 P2
1000円貰える確率 P3
とすると、貰える金額の期待値は？
E = (0円)×P0+(10円)×P1+(50円)×P2+(1000円)×P3

何度も何度もこのくじを引いたとき、１回あたり平均幾ら貰えるか、を表すのが期待値Eですね。
これ、納得行きますか？

・だとすれば、
ボールが幾つか入っている箱をひとつ選ぶ。箱の中にボールが
0個入ってる確率P0
1個入ってる確率 P1
2個入ってる確率 P2
3個入ってる確率 P3
とすると、入っているボールの数の期待値は
E = (0個)×P0+(1個)×P1+(2個)×P2+(3個)×P3

これも分かる？

●Σの意味
Σって言うのは 足し算をいっぱいやるのを省略して書く略記法です。
E = (0個)×P0+(1個)×P1+(2個)×P2+(3個)×P3
と書く代わりに
E = Σ{k=0～3} (k個)×Pk
と書いても同じ事だ、ということですね。
ここに出てくるkという文字は、Σの中だけで意味がある。kの代わりにjを使って
E = Σ{j=0～3} (j個)×Pj
と書いても、全く、完璧に全く、同じ意味です。

・じゃあ、
ボールが0～n個入っている箱をひとつ選んで、
0個入ってる確率P0
1個入ってる確率 P1
　：
n個入ってる確率 Pn
なら、入っているボールの数の期待値は
E = (0個)×P0+(1個)×P1+ … +(n個)×Pn
だから
E = Σ{k=1～n} (k個)×Pk
と書いても良い。
E = Σ{j=1～n} (j個)×Pj
と書いても良い。

これもご納得戴ける？

●「k=3の時を考える」とは？
「E = Σ{j=1～n} (j個)×Pj
において、k=3の時の期待値は？」
というご質問ですと、「は？kって何でしょうか？」が答です。

E = Σ{k=1～n} (k個)×Pk
の場合、kという文字は、Σの中だけで意味がある。ですから、
「E = Σ{k=1～n} (k個)×Pk
において、k=3の時の期待値は？」
というご質問でも、「は？kって何でしょうか？」が答なんですが、そこは百歩譲って考えてみましょう。

E = Σ{j=1～n} (j個)×P
という式においてkとは、どういう意味があるかというと、kは箱に入っているボールの数ですよね。だから、
「E = Σ{k=1～n} (k個)×Pk
において、k=3の場合の期待値は？」
と問うのは

「箱に入っているボールの数が3の場合に、箱に入っているボールの数の期待値は？」
と尋ねたのと同じ意味です。
　よく読んでみて。めちゃくちゃですね。ビョーキの質問です。

　強いて答えれば、つまり、確率が
P3 = 1、P0=P1=P2=P4=P5=.....=Pn = 0
という場合の期待値
E= Σ{k=1～n} (k個)×Pk
を問うているとしか解釈できませんので、
「箱に3個入っていると分かって居るんなら、箱に入っているボールの数は3です。」
とでも言うしかない。

●なお、Pkの値が式　nCk p^k・(1-p)^(n-k)　で与えられている、ということは以上の話とは何の関係もございません。それ以前の所に誤解があるみたい。

お礼

お返事ありがとうございます。簡単なものからだんだん複雑なものへ御説明してくださって理解しやすかったです。
「E = Σ{k=1～n} (k個)×Pkの場合、kという文字は、Σの中だけで意味がある。」というお言葉も重く考えたいと思います。

＞「箱に入っているボールの数が3の場合に、箱に入っているボールの数の期待値は？」と尋ねたのと同じ意味です。

すいません、自分でもおかしいなと思います。期待値を近いしていなかったようで。おかしいなと気づくのができたことを喜びたいなと思います。どうもありがとうございました。

回答No.9

newtype

＞よく確率の問題で、「ｘ＝ｋ（ｋ＝０，１，２…，ｎ）」というように書きますよね。この場合のxとkの関係はどのような関係なのでしょうか。x(x=０，１，２…，ｎ) と書いてはだめなのでしょうか。

別にいいと思いますよ。ただ一般にｘは連続量でとびとびの値は表わさないことが多いということじゃないですか。
テストを採点する側は基本的に論理的ならば丸をつけるので表現がおかしいなどとは言わないんじゃないですか。（但し、中学３年の図形の証明は厳しいこと言う先生が多いそうです）

お礼

お返事ありがとうございます。

＞ただ一般にｘは連続量でとびとびの値は表わさないことが多いということじゃないですか。

なるほど、そうだったのですね。長年の疑問がはれて良かったです。どうもありがとうございます。kと置く理由がわかったので、これからは、「ｘ＝ｋ（ｋ＝０，１，２…，ｎ）」と置くようにしたいと思います。

回答No.8

newtype

さて、問題は解決したので、Σ(from k=0 to n)k・nCk p^k・(1-p)^(n-k)を簡単に解こう。

（ｐ＋ｑ）^n＝Σ(from k=0 to n)nCk ｐ^k・(ｑ)^(n-k)（∵二項定理）
の両辺をｐで微分すると、
ｎ（ｐ＋ｑ）^(n-1)＝Σ(from k=0 to n)ｋ・nCk ｐ^(k-1)・(ｑ)^(n-k)
両辺にｐをかけて、
ｎｐ（ｐ＋ｑ）^(n-1)＝Σ(from k=0 to n)k・nCk ｐ^k・(ｑ)^(n-k)
ｑ＝１－ｐと置くと
Σ(from k=0 to n)k・nCk p^k・(1-p)^(n-k)＝ｎｐ（ｐ＋１－ｐ）^(n-1)＝ｎｐ
一般に二項定理に関係する問題と微分積分は非常に相性がよい。
いろいろ試してみるとよい。

以上

お礼

なるほど、そのような方法もあるのですね。全然思いつきませんでした。こんなところで微分が出てくるんですね。ストックとしてこのような考え方も使えればいいなと思います。どうもありがとうございました。

回答No.7

newtype

＜まとめ＞
siegmundさんやstomachmanさんが書いておられるように、ｋ＝３の場合だけでは、期待値にはならない。
この場合の期待値は、私が書いているように「何回起こると期待されるか」という意味だ。そこで問題文を言い換えよう。

「ある試行で事象Ａの起こる確率をＰとする。この試行を独立にn回繰り返すとき、
事象Ａは何回起こることが期待できるか」という問題を解く。
＜解＞
nCk p^k・(1-p)^(n-k) ＝f(k)として、
Σ(from k=0 to n)｛ｋ＊f(k)｝＝ｎｐ…（∵期待値の定義！！！から。）
だからｋに関係なく決まるのもうなづけるでしょう。問題文に与えられているのはｎとｐだけなんだから。

以上

お礼

お返事ありがとうございます。期待値というと得点や金額しか頭に思い浮かんでこなかったのですが、もっとイメージをふくらまして、何回起こるかという期待値なども同じように期待値として考えていきたいとおもいます。

＞「ある試行で事象Ａの起こる確率をＰとする。この試行を独立にn回繰り返すとき、事象Ａは何回起こることが期待できるか」という問題を解く。
＜解＞
nCk p^k・(1-p)^(n-k) ＝f(k)として、
Σ(from k=0 to n)｛ｋ＊f(k)｝＝ｎｐ…（∵期待値の定義！！！から。）だからｋに関係なく決まるのもうなづけるでしょう。問題文に与えられているのはｎとｐだけなんだから。

あらためて期待値の定義を見て、どういうことなのかわかりました。解答はnに確率変数を取って加法定理で違う道から期待値を出したものだったのですね。ありがとうございます。この考え方をわすれないようにしたいと思います。

回答No.5

siegmund

siegmund です．

どうも期待値にまだ誤解があるようです．

立方体のさいころの６面のうち，３面に数字１が書いてあり，
２面に数字２，１面に数字３が書いてあるとします．
数字の期待値は？

１の目が出る確率が 1/2，これからの期待値への寄与が 1×(3/6) = 1/2
２の目が出る確率が 1/3，これからの期待値への寄与が 2×(2/6) = 2/3
３の目が出る確率が 1/6，これからの期待値への寄与が 3×(1/6) = 1/2

目の数字の期待値は
(1/2) + (2/3) + (1/2) = (5/3)

です．

「k=3 のように固定して考えられますよね。とすると、期待値は、
k×f(k)のような気がするのですが」
上の記述から明らかと思いますが，k×f(k) は期待値ではなくて，
k を固定したときの期待値への寄与分です．
上の例では，３の目からの寄与の 3×(1/6) = 1/2 に相当します．
期待値はすべての可能な k について和を取ったものです．

お礼

＞上の記述から明らかと思いますが，k×f(k) は期待値ではなくて，
k を固定したときの期待値への寄与分です．
上の例では，３の目からの寄与の 3×(1/6) = 1/2 に相当します．
期待値はすべての可能な k について和を取ったものです．

お返事どうもありがとうございます。期待値がどういうものかわかりました。確率の分野は苦手で、一回できた物でももう一回やってみると、答えが違ったり考え方が間違ったりします。期待値の問題も前に理解したはずなのですが、わからなくなってしまって、考えていくうちにどんどん変な方向に考えが及んでしまいました。よく復習して、似たような問題を解いておきます。ありがとうございました。

回答No.4

newtype

重複試行の確率と期待値の融合問題だったのか。
そもそもこの期待値はなにを表わすのか。
ｎ個のサイコロを同時になげるとき、ある事象を満たすサイコロの個数をｘ個とする。
その事象の確率はｘによって決まるのでf(ｘ）と置く。（当然でしょう？）
ｘ＝ｋ（ｋ＝０，１，２…，ｎ）のときの確率は
ｆ(k)＝nCkp^k・(1-p)^(n-k)（どのサイコロを満たさせるかでnCk通り。ｐはある事象の確率）
ある事象を満たすサイコロの個数は期待値で表わされるので、（なぜならば「どのくらいのサイコロ個数が期待されるか」と考えられるから。「期待金額」という言葉がある。だからさしあたり、「期待個数」と言おう）
期待個数ｘ＝Σ(from k=0 to n)ｋ＊f(k)＝Σ(from k=0 to n)ｋ＊nCkp^k・(1-p)^(n-k)

以上

お礼

お返事ありがとうございます。やっとわかりました。なるほど、そうだったのですね。「期待個数」ですか。なるほど、わかりました。ところで、関係のない話なのですが、
よく確率の問題で、「ｘ＝ｋ（ｋ＝０，１，２…，ｎ）」というように書きますよね。この場合のxとkの関係はどのような関係なのでしょうか。x(x=０，１，２…，ｎ) と書いてはだめなのでしょうか。

回答No.3

newtype

一部訂正。だから置き換えは細心の注意を払わなければならないんだ。

「ｎｐ（１＋１－ｐ）^(n-1)（∵二項定理）」 を
「ｎｐ（ｐ＋１－ｐ）^(n-1)（∵二項定理）」と直してください。

自分で言ってて間違えるくらいだからやっぱり添え字の置き換えをしないで、一度展開して考えた方がいいかもしれない。

回答No.2

newtype

Σ(from k=0 to n)k・nCk p^k・(1-p)^(n-k)
＝Σ(from k=１to n)k・nCk p^k・(1-p)^(n-k)
＝Σ(from k=１to n)ｎ＊n-1Ck-1＊p^k・(1-p)^(n-k)（∵ｋnCk＝ｎ＊n-1Ck-1）
＝ｎΣ(from k=１to n)n-1Ck-1＊p^k・(1-p)^(n-k)
＝ｎｐΣ(from k=１to n)n-1Ck-1＊p^(k-1)・(1-p)^(n-k)
＝ｎｐΣ(from k=０to n-1)n-1Ck＊p^k・(1-p)^(n-k-1)（こういう添え字の置き換えは危険なのだがこの場合はうまくいった。つまり一段下げたのである）
＝ｎｐ（１＋１－ｐ）^(n-1)（∵二項定理）
＝ｎｐ

自分で手探りで考えるのもいいもんだよ。
以上

お礼

お返事ありがとうございます。僕の本では、
Σ(from k=0 to n)k・nCk p^k・(1-p)^(n-k)
の問題を解かせたあとで、「これはある試行で事象Aの起こる確率をPとする。この試行を独立にn回繰り返すとき、事象Aがちょうどk回起こる期待値である」となっていました。ということは、この結果のnpから考えると、kの値は関係ないのでしょうか。う～ん、まだ期待値が理解できていないような気がします。

回答No.1

siegmund

期待値とはどういうものかをよく理解されていないようです．

k=0 である確率が f(0)
k=1 である確率が f(1)
k=2 である確率が f(2)
．．．．．
だったら，k の期待値は
0×f(0) + 1×f(1) + 2×f(3) + ... = Σ {k×f(k)}
です．
今は f(k) が
nCk p^k・(1-p)^(n-k)
になっているわけです．

「例えば、k=3のときを考えてみると」
がそもそも間違いです．
k はいろいろな値を取る可能性がありますから，k を固定しちゃっちゃいけません．

お礼

お返事どうもありがとうございました。なるほど、そのような形になっていたのですね。丁寧に解説してくださったおかげで、大変よくわかりました。ありがとうございます。

＞k はいろいろな値を取る可能性がありますから，k を固定しちゃっちゃいけません．

例えば、Σ {k×f(k)} ではなくて、 k×f(k)だったら、
kは一般項だと思うので、k=3 のように固定して考えられますよね。とすると、期待値は、
k×f(k)のような気がするのですが、シグマすることの意味は何でしょうか。すいません、わかった気になっていたのですが、まだ少しわかりません。