確率の問題について

質問

さいころを振ってn回目にでた目をaｎとするとき
a1・a2・・・・an（a1＋a2＋・・・・＋aｎ）が3の倍数となる確率を求めよ。
という問題がありました。
まず積のほうの確率を出すことを考えると、3または6が少なくとも一回出ればいいので積のほうは1-(2/3)^nとなりました。
次に和のほうを、n回目のときのあまりが0、1、2となる確率をそれぞれ、Pn、Qn、Rnとします。このとき和の事象と積の事象は独立ではないのでかぶっているところを数えないようにするために、3、6は出ないように考えます。
Pn=1/3(Qn-1+Rn-1)となるので、Pn=(-1/3)^n-1(-1/4)+1/4となり、席のほうの確率を足すと5/4-(2/3)^n-1/4(-1/3)^n-1となりました。
しかし答えには1-(2/3)^n+1+2/3(-1/3)となっていました。
どこがおかしいのでしょうか？教えてください。

回答No.2

phyncle

和の方の確率は(2/3)^n×(-1/3)×(-1/2)^(n-1)になります。
と書きましたが、漸化式から一般項を求めるときの最後の足し算を忘れていました。
正しくは(2/3)^n×[(-1/3)×(-1/2)^(n-1)+1/3]です。
(2/3)^n×(-1/3)×(-1/2)^(n-1)は(2/3)^n=(2/3)×(2/3)^(n-1)、
(-1/3)×(-1/2)^(n-1)=1/3×(-1)^n×(1/2)^(n-1)と変形することで2/3(-1/3)^nとなります。
残った(2/3)^n×(1/3)と積の方の1-(2/3)^nを足すと1-(2/3)^(n+1)となり、答えを求めることができます。

回答No.1

phyncle

積の方の確率は問題ありません。

和の方ですが、求めたい確率は「１度も３または６が出ず、かつ全ての目の和が３の倍数となる確率」です。
条件付き確率の定義よりP(A∩B)＝Pa（B）×P(A)ですので、
求める確率＝「１度も３または６が出ない確率」×「１度も３または６が出ないとき全ての目の和が３の倍数となる確率」です。
掛け算の掛けられる方の確率は(2/3)^nです。
このときPn、Qn、Rnを定義すると、Pn+Qn+Rn＝１、
Pn=1/2(Qn-1+Rn-1)＝1/2(1-Pn-1)となります。（n≧2）
この漸化式を解くと（同時にn=1で成り立つことも証明できます）Pn=(-1/3)×(-1/2)^(n-1)、
和の方の確率は(2/3)^n×(-1/3)×(-1/2)^(n-1)になります。
ところで質問者様のおっしゃる正しい答えはnを無限に大きくしたとき7/9に収束しているようなのですが書き間違いではないでしょうか？

また質問者様の考えですとPn+Qn+Rn=2/3(Pn-1+Qn-1+Rn-1)となってしまうためどのようにPnを求められたのかは分かりませんがおそらく求めることができないと思います。
原因は条件付き確率の考えを利用しているのに上の条件付き確率の定義を正しく適用できていないからだと思われます。

お礼

回答ありがとうございます。
条件付確率は知っていますが、問題をあまり解いたことがないのでピンとこなかったのですが、こうやって使うことができるのだと勉強になりました。
正しい答えは1-(2/3)^n+1+2/3(-1/3)^nでした。