確率を求める問題です

質問

確率を求める問題を解いてみたのですが、いまいち自信がありません。
この解き方であっているか、ご指導お願いします。

【問題】
7.白球２個と黒球５個が入っている袋から１球を取り出し、
色を確かめて戻す。この試行を４回繰り返し行う。

(1) １回目に取り出した球が白球である確率を求めよ。

P(n) = (2/(2+5)) = (2/7)

(2) ４回とも取り出した球が白球になる確率を求めよ。

P(n) = (2/7)*(2/7)*(2/7)*(2/7) = (16/2401)

(3) １回目と４回目に取り出した球の色が異なる確率を求めよ。

１回目と４回目の球の色が白白になる組み合わせと
黒黒になる組み合わせ以外の確率を求める。
P(n) = 1-((2/7)*(2/7)+(5/7)*(5/7))
= 1-(4/49 + 25/49) = 1-(29/49) = 20/49

(4) 4回のうち、ちょうど白球を2回取り出す確率を求めよ。

P(n)=nCk・p^k・(1-p)^(n-k)=(2/7)^2・(5/7)^(4-2)
=((4・3・2)/(2・2))・(4/49)・(25/49)
=((6・4・25)/2401)=(600/2401)

(5) 4回のうち2回白球を取り出し、2回黒球を取り出したとする。このとき4回目に取り出した球が白球である確率を求めよ。

「４回のうち白球を2回、黒球を2回取り出す」という条件のある
条件付き確率を求める。
白球が2回、黒球が2回出る場合の数（組み合わせ）は、
4C2(=4C3)の6通り。…(1)
４回目に白球である場合の数（組み合わせ）は、
3C1(=4C3)の3通り。…(2)

(1)(2)より、確率は(3/6)=(1/2)

(6) 白球を取り出す回数の平均値（期待値）と分散を求めよ。

白球を取り出す確率をpとし、それをn回繰り返すため、
平均値(期待値)=np=4*(2/7)=8/7
分散=np(1-p)=4*(2/7)*(1-(2/7))=40/49

以上、よろしくお願いします。

回答No.3

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

＞＞＞7.白球２個と黒球５個が入っている袋から１球を取り出し、
色を確かめて戻す。この試行を４回繰り返し行う。

＞＞＞(1) １回目に取り出した球が白球である確率を求めよ。
＞＞＞P(n) = (2/(2+5)) = (2/7)

ＯＫです。

＞＞＞(2) ４回とも取り出した球が白球になる確率を求めよ。
＞＞＞P(n) = (2/7)*(2/7)*(2/7)*(2/7) = (16/2401)

ＯＫですが、普通は、
(2/7)*(2/7)*(2/7)*(2/7)　でなく、
（２／７）^4　と書きます。

＞＞＞(3) １回目と４回目に取り出した球の色が異なる確率を求めよ。
＞＞＞１回目と４回目の球の色が白白になる組み合わせと
＞＞＞黒黒になる組み合わせ以外の確率を求める。
＞＞＞P(n) = 1-((2/7)*(2/7)+(5/7)*(5/7))
＞＞＞= 1-(4/49 + 25/49) = 1-(29/49) = 20/49

このような簡単な場合に余事象を考えてしまっては、センスを疑われるかもしれませんよ。
白黒　　２／７　×　５／７
黒白　　５／７　×　２／７
よって、　２／７　×　５／７　＋　５／７　×　２／７
　＝　２０／４９

＞＞＞(4) 4回のうち、ちょうど白球を2回取り出す確率を求めよ。
＞＞＞P(n)=nCk・p^k・(1-p)^(n-k)=(2/7)^2・(5/7)^(4-2)
=((4・3・2)/(2・2))・(4/49)・(25/49)
=((6・4・25)/2401)=(600/2401)

よいですが、
この場合は、最初から　（２／７）^2　×　（５／７）^2　×　4Ｃ2
と書けばよいです。

＞＞＞(5) 4回のうち2回白球を取り出し、2回黒球を取り出したとする。このとき4回目に取り出した球が白球である確率を求めよ。
＞＞＞「４回のうち白球を2回、黒球を2回取り出す」という条件のある
条件付き確率を求める。
＞＞＞白球が2回、黒球が2回出る場合の数（組み合わせ）は、
＞＞＞4C2(=4C3)の6通り。…(1)
＞＞＞４回目に白球である場合の数（組み合わせ）は、
＞＞＞3C1(=4C3)の3通り。…(2)
＞＞＞(1)(2)より、確率は(3/6)=(1/2)

こたえは合っていますが、ちょっと危なっかしいですね。
また、「（＝４Ｃ３）」と書いてはダメです。

Ａ：白が２回で４回目が白　２／７×（５／７）^2×3Ｃ2　×　２／７
Ｂ：白が２回で４回目が黒　（２／７）^2×５／７×3Ｃ1　×　５／７

Ａ／Ｂ　＝　１
Ａ／（Ａ＋Ｂ）　＝　１／（１＋１）　＝　１／２

＞＞＞(6) 白球を取り出す回数の平均値（期待値）と分散を求めよ。
＞＞＞白球を取り出す確率をpとし、それをn回繰り返すため、
＞＞＞平均値(期待値)=np=4*(2/7)=8/7
＞＞＞分散=np(1-p)=4*(2/7)*(1-(2/7))=40/49

公式どおりですから当然正解ですが、導出する手順が長い公式を利用するのですから、
１行目に、
「ｐ＝２／７、試行回数ｎ　の二項分布であるから」
と書くべきです。

以上、ご参考になりましたら。

お礼

検証していただき、ありがとうございます。
細かな注意やアドバイスをしていただき、よくわかりました。
大変おせわになりました。

回答No.4

masa072

No.1です。
失礼しました。質問者様の回答で正解です。
問題を読み間違えていました。

お礼

わざわざご連絡いただき、ありがとうございました。
今後ともよろしくお願いいたします。

回答No.2

owata-www

え…、4回のうち2回白球を取り出し、2回黒球を取り出したときの条件付きの確率だから

(300/2401)/(600/2401)=1/2でいいような気がするんですが…

お礼

回答ありがとうございます。
ということは、自分の解答でよかったということですか！
やはり、前提条件が付いているので、
その中で確率を出せばいいってことですね。
（自分もその辺をあいまいに覚えていたのもので。。。）

回答No.1

masa072

(5)は違います。
1/2は，４回のうち白球を2回、黒球を2回取り出す」という条件の中で4回目に白球が出る確率です。
ですから求める確率は1/2*(4)の結果=300/2401です。

（(5)の別解）
最初の3回は白1個黒2個が出て，4回目に白が出ると考える。
よって，3C1(2/7)*(5/7)^2*(2/7)=300/2401

お礼

丁寧なアドバイスありがとうございます。
前の答えの確率も加味して考えればいいのですね。
（条件付き確率では、前の条件は無視すると思っていました。）
ご指導ありがとうございました。