確率の問題 添削お願いします。

質問

問1．白球1個と黒球5個が入っている袋から、１球を取り出し、
　　 色を確かめて戻す。この試行を４回繰り返し行う。
　　(１)１回目に取り出した球が白球である確率を求めよ。
　　(２)１回目と２回目に取り出した球の色が異なる確率を求めよ。
　　(３)４回のうち３回白球を取り出し、１回黒球を取り出したとする。
　　　　このとき４回目に取り出した玉が白球である確率を求めよ。

(１)は、樹形図を作って、P＝8／6^4＝1/162 .
(２)も樹形図から、1回目が白球で2回目が黒球の場合が4通りあるから、P＝(4×2)/6^4＝1/162 .
(3)は、黒球が1回目に出る場合、2回目に出る場合、3回目に出る場合の
　3通りあるから、P＝{(5/6)(1/6)^3}×3＝5/432 .

というように考えました。式だけでもいいので、合っているのかどうか
どなたか添削お願いします。

回答No.5

pyon1956

(1),(2)では皆さんの回答で問題ないと思いますが、高校数学に限って言えば(3)の場合は「反復試行の確率」の公式を使え、ということになっています。
なので、4回目が白、ということは後の3回は白2回、黒2回ですが、何回目に黒を取り出すか、という3C1を掛けないといけませんから
3C1×((1/6)^2)×(5/6)×(1/6)ですから、質問者の仰る5/432で正しいのです。
問題文が誤解を誘うようにできていますが、高校数学（ですよね）ならばこの文脈で出てくる問題はまずこのタイプしかありません。

回答No.4

ujitaka

(3)についてですが、zoku0855さんの３／４でよいと思います。
白を○、黒を●で表すと、白３回・黒１回は次のような４つの場合になります。
○○○●、○○●○、○●○○、●○○○
このうち、４回目に白となるのは３つの場合があります。

回答No.3

Quattro99

(1)すでに回答があるように1回目だけ考えればよいので1/6。
無理に4回ぶんの樹形図から計算するのであれば、6^3/6^4となるはずですが、分子の8はどこから出てきたものですか？

(2)これも、無理に4回分の樹形図から計算するなら、1、2回目が白黒の場合は1*5*6^2通り、黒白の場合も5*1*6^2通りあるはずです。
> 1回目が白球で2回目が黒球の場合が4通りあるから
4ってどこから出てきたものですか？ 黒球は5個ですけど。

(3)4回のうち3回白球を取り出し、1回黒球を取り出した場合のうち、1回目が黒球、2回目が黒球、3回目が黒球、4回目が黒球であるそれぞれの場合の数は同じはずですから、それぞれの回が黒球である確率はそれぞれ1/4とわかります。4回目が白球である確率は4回目が黒球である確率を1から引けば出ます。
zoku0855さんの解答がおかしいのは、「4回のうち3回白球を取り出し、1回黒球を取り出したとする」という条件付きの確率であることを考慮していないところです。無理に4回ぶんの樹形図から求めるなら。(黒白白白+白黒白白+白白黒白)/(黒白白白+白黒白白+白白黒白+白白白黒)で5*1^3*3/5*1^3*4です。zoku0855さんが求めたのは「この試行を4回繰り返したとき、白球が3回黒球が1回出て、かつ、4回目が白球である確率」です。問題文には「4回のうち3回白球を取り出し、1回黒球を取り出したとする。このとき．．．」とあるので、条件付きの確率です。

補足

回答ありがとうございます。
(1)、(2)については、ANo.1さんとANo.2さんの回答から、
自分が、5個の黒球を区別せずに樹形図を作ったことが誤りだと気づきました。
(3)は、「4回のうち3回白球を取り出し、1回黒球を取り出した場合」が条件となる条件付確率の問題であることが分かりました。
その条件をAとし、「4回目に取り出した球が白球」という事象をBとして、
P＝P(A∧B)/P(A)＝略＝3/4．になりました。
Quattro99さんの解き方とは違いますが、この解答がまだ違っていたら
再度教えていただけたら助かります。

回答No.2

kazuhisa01

(１)１回目に取り出した球が白球である確率を求めよ。
6個中、白は1個なので　1/6

(２)１回目と２回目に取り出した球の色が異なる確率を求めよ。
1回目に白、2回目に黒が出る確率は　1/6*5/6　5/36
2回目に黒、2回目に白が出る確率は　5/6*1/6　5/36

(３)４回のうち３回白球を取り出し、１回黒球を取り出したとする。
このとき４回目に取り出した玉が白球である確率を求めよ。
黒が最後でないのは3回なので　1/6*1/6*1/6*5/6*3　5/432

苦手分野だったのであっているとは言えませんが。
参考までに。
間違っていたらすみません。

お礼

回答ありがとうございます。
私の回答は(1)、(2)について、完全に考え違いをしていました。
5個の黒球を区別せずに樹形図を作ってしまったのが誤りの元でした。

kazuhisa01さんのシンプルな説明と回答にとても助かりました。
(3)については、ANo.3さんから指摘があり、もう一度考えてみます。

回答No.1

sayakacc

宿題ですか？
あっているか心配になりますよね。
いろいろな問題を解くと、自分の答えに自信が持てるようになりますよ。
自分で問題集を買ってやられることをお勧めします。

回答でなくてすみません。

もっと簡単に考えてください。樹形図はかかれたのですよね。
(１)問題に４回繰り返し行うと書いてありますが、(１)には関係ありません。１回目なので１回試行しただけです。

　　１回目　　　　２回目
　　　白　　　－　　白
　　　　　　　－　　黒１
　　　　　　　－　　：
　　　　　　　－　　黒５
　　　黒１　　－　　白
　　　　　　　－　　黒１
　　　　　　　：
　　　　　　　：

と続くわけですが、最初の問題は一番左の部分だけをいっています。
つまり「６通り中白は１通り」

(２)２回目までなので２回試行した全部の場合の数は６×６の３６通り
１回目白２回目黒は５通り　１回目黒２回目黒は５通り

(３)は考え方は４回中白３黒１　ってことだけです。袋の中に何が入っているか関係ありません。

つまり　「袋の中に白球が３個黒球が１個入っており、順に取り出す」
この場合と同じです。

確率の問題は文章をよくよみ、問題の意図を読むことが大切になってきます。

と、いうことで、答えは書きませんが、途中までの添削です。
頑張ってみてください。

お礼

回答ありがとうございます

問題集をやっていますが、練習問題などで答が載ってなかったり、
略解だったりするので、こちらに質問しました。