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確率の問題の質問です。
白球2個、黒球5個が入っている袋から、1球を取り出し色を確かめて戻す試行を4回繰り返す。このとき、次の問いに答えよ。 (1)4回のうちちょうど2回白球を取り出す確率。 (2)4回のうちちょうど2回白球を取り出すとき、1回目に取り出した球が白球である確率。 --------------------------------------------------------------- (1) (2/7)^2×(5/7)^2=100/2401 ←あっていますか？ (2) 2.3.4回目が白・黒・黒の取り方とならなければいけないということはわかりましたが、そこから先がよくわかりません。 よろしくお願いします。
- hage-chabi
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＞(1) (2/7)^2×(5/7)^2=100/2401 ←あっていますか？ 球は１回づつ戻されるので、１回の試行では「白球を取り出す確率＝２／７」、「黒球を取り出す確率＝５／７」となる。 ２回試行し、２回とも白球を取り出す確率は「（２／７）×（２／７）」となる。 ２回試行し、２回とも黒球を取り出す確率は「（５／７）×（５／７）」となる。 ４回試行し、白球２回、黒球２回を取り出す確率は「（２／７）×（２／７）×（５／７）×（５／７）」となる。 ＞(2) 2.3.4回目が白・黒・黒の取り方とならなければいけないということはわかりましたが、そこから先がよくわかりません。 「白２個が取り出される組み合わせ」は以下の６つである。 ○○●● ○●○● ○●●○ ●○○● ●○●○ ●●○○ このうち、先頭が白なのは３つしかない。 つまり「３／６」である。 結果「（２／７）×（２／７）×（５／７）×（５／７）×（３／６）」となる。
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- kumipapa
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(1) 白球を取り出す確率は 2/7, 黒球を取り出す確率は 5/7 4回取り出したとき、白球を２個取り出すという根元事象を列挙してその確率を求めると、(以下、W:白、B:黒で、WWBBは白白黒黒と取り出すという事象を表す） 事象 → その事象の起きる確率 WWBB → (2/7)×(2/7)×(5/7)×(5/7) = (2/7)^2×(5/7)^2 WBWB → (2/7)×(5/7)×(2/7)×(5/7) = (2/7)^2×(5/7)^2 WBBW → (2/7)×(5/7)×(5/7)×(2/7) = (2/7)^2×(5/7)^2 BWWB → (5/7)×(2/7)×(2/7)×(5/7) = (2/7)^2×(5/7)^2 BWBW → (5/7)×(2/7)×(5/7)×(2/7) = (2/7)^2×(5/7)^2 BBWW → (5/7)×(5/7)×(2/7)×(2/7) = (2/7)^2×(5/7)^2 の6通り。これらの確率を全て加えれば、6×(2/7)^2×(5/7)^2 = 600 / 2401 が答え。 普通は、４回のうち２回白球を取り出す場合の数を 4 C 2 = 6 通りと計算し、(4 Ｃ 2)(2/7)^2(5/7)^2 と計算する。二項分布です。 (2) 4回取り出したところ、２回白球を取り出した。このとき（そういう事実が分かったとき、もしくは、そういう条件下において）、１回目に白を取り出した確率はなんぼだと思いますか？ということであれば、確率は 1/2 (1) で書き出したように、4 回のうち 2 回白球を取り出すのは 6 通りで、そのうち 1 球目が白であるのは 3 通り。そして、どの事象の起き方も同様に確からしい（確率はどれも (2/7)^2 (5/7)^2)。よって、4回のうち2回白を取り出すという条件の下で、1回目が白である確率は 3/6 = 1/2 または、 W: １回目が白であるという事象 E: 4回のうち、2回が白であるという事象 とすると、求めるべき確率は条件付確率 P(W|E) ( = P(W ∩ E) / P(E) )である。 P(W ∩ E) = P(1回目が白、かつ、4回のうち2回白） = P(1回目が白、かつ、残り3回のうち1回白） = (2/7) (3 Ｃ 1) (2/7) (5/7)^2 P(E) = P(4回のうち2回白） = (4 Ｃ 2) (2/7)^2 (5/7)^2 より、 P(W|E) = P(W ∩ E) / P(E) = (3 Ｃ 1) / (4 Ｃ 2) = 1/2 であるから、4回のうち2回白を取り出すとき、1回目が白である確率は 1/2 だと思うのですが。
お礼
詳しく説明していただきありがとうございます。もう一度考えてみます。
- higekuman
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> (1) (2/7)^2×(5/7)^2=100/2401 ←あっていますか？ 取り出す順番は、「白白黒黒」でも「白黒白黒」でも「白黒黒白」でも、とにかく、2回白で2回黒だったら良いんですよね？ この解答だと、「白白黒黒」の順番で取り出すときの確率しか求めていませんよ。 > (2) 2.3.4回目が白・黒・黒の取り方とならなければいけない そうなんですか？ なぜ？
- m234023b
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(1)4回中2回なので 4C2(2/7)^2×(5/7)^2 という計算をする必要があります． (2)少し考え方が違います．2.3.4回目が白・黒・黒の取り方ではなく，1回目に白，残り3回中1回白という事象を考える必要がありますので， (2/7)*3C1(2/7)*(5/7)^2 という計算をする必要があります．
お礼
ありがとうございます。類題の参考にさせていただきます。
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