確率論の問題です。

質問

以下の確率論の問題を自分なりに解いてみましたが、途中の計算など、自信がありません。わかる方、ご指導よろしくお願いします。

【問題】
白球４個と黒球２個が入っている袋から、１球を取り出し、色を確かめて戻す。この試行を５回繰り返し行う。

(1)１回目に取り出した球が白球である確率を求めよ。

P(n)=4/(4+2)=(4/6)=(2/3)
よって、答えは2/3

(2)１回目と３回目に取り出した球がどちらも白球である確率を求めよ。

2回目と4回目の結果は考慮しなくていいので、1回目と3回目の確率のみを求める。
P(n)={4/(4+2)}*{4/(4+2)}=(4/6)*(4/6)=(2/3)*(2/3)=(4/9)
よって答えは、4/9

(3)５回のうちちょうど２回白球を取り出す確率を求めよ。

公式 P(n)=nCk・p^k・(1-p)^(n-k)より、
=5!/(2!・3!)・(2/3)^2・(1/3)^(5-2)
={(5・4・3・2)/(2・3・2)}*(4/9)*(1/27)
=40/81
よって答えは、40/81

(4)５回のうち４回白球を取り出し、１回黒球を取り出したとする。このとき１回目に取り出した球が白球である確率を求めよ。

まず、5回のうち4回白球を取り出す確率を求める。
公式 P(n)=nCk・p^k・(1-p)^(n-k)より、
=5!/(4!・1!)*(2/3)^4*(1/3)^(5-4)
={(5・4・3・2)/(4・3・2)}*(16/81)*(1/3)
=(80/273)・・・(1)

次に、最初に黒球が出る確率を求める。
=(2/6)・(4/6)・(4/6)・(4/6)
=(1/3)・(2/3)・(2/3)・(2/3)
=(8/81)・・・(2)

(1)－(2)を計算し、１回目に黒玉が出る確率(=最初が白玉でない確率)を求める。
(80/273)-(8/81)=(56/273)
よって答えは、56/273

(5)白球を取り出す回数の平均値（期待値）と分散を求めよ。

Ａの起こる確率をｐとし、それをｎ回繰り返すため、
平均値（期待値）は、公式npより
=(2/3)*5=(10/3)
分散は、公式np(1-p)より
=(10/3)*{1-(2/3)}
=10/9

以上お願いします。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

（１）と（２）　ＯＫです。

（３）
計算、間違えてますね。
{(5・4・3・2)/(2・3・2)}*(4/9)*(1/27)
=40/81
ではなく、
{(5・4・3・2)/(2・3・2)}*(4/9)*(1/27)
＝　１０　×　４／９　×　１／２７
＝　４０／２４３
です。

（４）
「５回のうち４回白球を取り出し、１回黒球を取り出したとする」
という条件がある、条件つき確率です。

４回白、１回黒の場合の数（組み合わせ）は、
5Ｃ1　（＝　5Ｃ4）＝　５通り
です。
５通りのうち、１回目が白である場合の数（組み合わせ）は、
4Ｃ1　（＝５－1Ｃ1）＝　４通り
です。
よって、確率は、４／５　です。

図で描けば

１２３４５
○○○○●
○○○●○
○○●○○
○●○○○
●○○○○

です。

（５）
検算になるように、公式を使わずに計算してみますね。

分母の ３^5 を略して書きますが、
０回：　5Ｃ0　×　２^0　×　１^5　×　０　＝　０
１回：　5Ｃ1　×　２^1　×　１^4　×　１　＝　５×２×１　＝　１０
２回：　5Ｃ2　×　２^2　×　１^3　×　２　＝　１０×４×２　＝　８０
３回：　5Ｃ3　×　２^3　×　１^2　×　３　＝　１０×８×３　＝　２４０
４回：　5Ｃ4　×　２^4　×　１^1　×　４　＝　５×１６×４　＝　３２０
５回：　5Ｃ5　×　２^5　×　１^0　×　５　＝　１×３２×５　＝　１６０
合計　８１０

省略していた　１／３^5　をかけて、
期待値　＝　８１０　×　１／３^5　＝　８１０×１／８１×１／３
　＝　１０／３

合いました。

分散も、それでよいでしょう。

以上、ご参考になりましたら。

お礼

いつも的確かつ迅速なご指摘ありがとうございます。
大変丁寧な回答をしていただき、自分にもよくわかりました。
今後もよろしくお願いいたします。

回答No.1

25no12

若干、間違いがあるようです。
間違いのポイントは、ときどき試行回数が4回だとしてしまっているところ、それと単純な計算違いが目立ちます。

（１）○
（２）試行回数は5回なので、「2回目と4回目の結果は考慮しなくていいので」の部分、「2回目と4回目と5回目の結果は考慮しなくていいので」に修正する必要あり。
（３）公式は知りませんが、数式は正しいです。
ただ、途中の計算が間違っていて、正解は 「40/243」です。
（5C2の分母にも3がくることを途中で見落としたのでしょうかね？）
（４）5回のうち4回白球を取り出す確率は、計算式は正しいですが、最後に計算ミスをしています。「80/243」です。
このうち最初に黒球がでる確率の計算で、試行回数が4回だとした確率になってしまっています。こちらは「16/243」になります。
引き算して、（80-16）/243=「64/243」になります。
（単純に、（4/5）×（80/243）でも良いのです）
（５）公式は知りませんが、地道に計算すると、どちらも同じ結果になります（エクセルでも検算しました）。
念のため、白球の出る回数それぞれの確率は、
0回...1/243
1回...10/243
2回...40/243
3回...80/243
4回...80/243
5回...32/243

お礼

ご指導いただき、ありがとうございます。
またエクセルでも検算していただいたとのこと、ありがとうございます。
おっしゃる通り、細かい計算ミスが多いので、気をつけるようにします。
ありがとうございました。