確率の問題が解けなくて困っています

質問

問題文は
kを2以上の整数とする。硬貨を繰り返し投げて、表の出た回数がk回になるか、あるいは、裏の出た回数がk回になった時点で終了する。
k≦n≦2k-1を満たす整数nに対して、ちょうどn回で終了する確率p(n)を求めよ。

なのですが、自分の見解として
　n回で終了する→n回投げてそのうちk回表or裏が出る→反復試行の確率の考えから
nCk(1/2)*ｋ（1/2）*（n-k）…(1)(*=累乗)
でこの時kは不定で題の不等式を変形して
(n+1)/2≦k≦ｎ
と考えこの間の確率の和がp(n)だから
p(n)＝2〔Σ(1)(k=0～ｎ)－Σ(1){k=0~(n-1)/2}〕
=1-Σ(1){k=0~(n-1)/2}(1は二項定理から)
で止まってしまいました。
正直なところ「根本的に間違ってるのでは?
」と感じていますが他に指針が立たないので、指針となるヒントまたは解法を教えてください。
追申：文体や表現が分かりにくくなってしまってすみません

回答No.1

K29igawa · ベストアンサー

数式はうまく書けないので、エクセル式に表示します。

結論から先に言うと、(n-1) C (k-1) / 2^(n-1) となります。［n-1個の中から k-1個取り出す組み合わせ 割る 2 の n-1乗］

具体的に、k=5 n=7 の場合で考えて見ます。
７回目は表でも裏でもどちらでも良いのですが、それ以前の６回の出目に制約がかかります。つまり、７(=n)回目に出る面と同じ面が６(=n-1)回目までに４(=k-1)度出ていなければならないのです。７(=n)回目で５(=k)度目の発生、という条件が成立するためには、これが必須条件です。3以下だとダメだし、５以上だと既に終わっています。
言い換えれば、n回目の直前は、リーチが掛かっているけれども和了っていない（分かるかな？）状態であることが必要なのです。

さて、(n-1) C (k-1) というのは、表でリーチが掛かる場合と裏でリーチが掛かる場合の２通りあるから、確率は２倍しなきゃならないように思えますが、ｎ回目で表か裏かの２分の１になるため、相殺されてチャラです。

なんか、あんまり数学的な回答ではないですね。

お礼

返答ありがとうございます。
具体例まで挙げて下さってとても分かりやすかったです。
ひとつ不明だったことは
具体例でいうn=7としたときk≦n≦2k-1となっていることから
kは4,5,6,7の四つが対応しています、このことからp(n)の式に単純にk（定数でないもの）を使っていいものかと思ったんですがそこのところどうなんでしょうか？

回答No.2

yaemon_2006

あってるかな？

　 n回で終了するためには、
1) (n-1)回目までに表が(k-1)回出てn回目に表が出る、
2) (n-1)回目までに裏が(k-1)回出てn回目に裏が出る、
のどちらか。

1) 2) の場合共にその場合の数は、(n-1)C(k-1) なので、
1) または 2) が起こる場合の数は、2 * (n-1)C(k-1)。

硬貨をn回投げたときの全ての場合の数は、2＾n なので、
求める確率 P(n) = (2 * (n - 1)C(k - 1)) / (2＾n)
　　　　　　　　= (n - 1)C(k - 1) / (2＾(n-1))

お礼

返答ありがとうございます。↓の不明な点についてはなかったことに；
お二方のおかげで納得できました。