誕生日問題の人数の期待値とは?
- 誕生日問題における人数の期待値を求めるための計算式について説明します。
- 誕生日問題では、同じ誕生日の人のペアを見つけるために、道に歩いている人に順番に誕生日を聞いていきます。
- 続いて、期待値の計算式を示し、具体的な計算方法についても説明します。
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誕生日問題、一人ずつに誕生日を聞いていくとき、ダブリが出るまでの人数の期待値は?
誕生日は365種類ありますが、ここではn種類とします。 同じ誕生日の人のペアを見つけたいとします。 道に歩いている人一人ずつに誕生日を聞いていき、聞き終わった人にはその場に留まってもらうとします。 同じ誕生日の人を見つけるために、聞く人数の期待値は? 2回目でダブリの確率は、1 * 1/n 3回目でダブリの確率は、1 * (n-1)/n * 2/n 4回目でダブリの確率は、1 * (n-1)/n * (n-2)/n * 3/n k回目でダブリの確率は、 1 * (n-1)/n * (n-2)/n * … * {n-(k-2)/n} * (k-1)/n = (n-1)!(k-1)/n^(k-1)(n-k+1)! n回目でダブリの確率は、1 * (n-1)/n * (n-2)/n * … * 2/n * (n-1)/n n+1回目でダブリの確率は、1 * (n-1)/n * (n-2)/n * … * 1/n * n/n 期待値は、Σ[k=2,n+1] k*(n-1)!(k-1)/n^(k-1)(n-k+1)! を計算して、別の形にしていきたのですが、いいアイデアはありますでしょうか?
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別の形にしていきたいとのことですが、Σのない式にしたいということでしょうか? 私にはΣのない式にできそうになかったので、コンピュータでその式のまま計算させてみました。 nと期待値の二乗をプロットしてみると直線に近いので、これから近似値を得る方法では駄目でしょうか? 参考になればいいのですが。 計算結果 n 期待値 1 2.000000 2 2.500000 3 2.888889 4 3.218750 5 3.510400 6 3.774691 7 4.018139 8 4.245018 9 4.458316 10 4.660216 20 6.293585 30 7.549461 40 8.609113 50 9.543127 60 10.387796 70 11.164713 80 11.887962 90 12.567334 100 13.209961 200 18.398444 300 22.380636 400 25.738098 500 28.696235 600 31.370683 700 33.830147 800 36.119399 900 38.269539 1000 40.303213 2000 56.718899 3000 69.315406 4000 79.934857 5000 89.290830 6000 97.749306 7000 105.527695 8000 112.767655 9000 119.567583 10000 125.999122
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