確率の問題です

質問

ＡさんとＢさんが射撃をする。
Ａさん、Ｂさんが的に命中させる確率をそれぞれa,bとし、0<a<1,0<b<1とする。
どちらか一方が当たった場合のみ勝敗がきまるものとし、二人ともがあてたり、外した場合は引き分けとなり片方が当たるまで続けるものとする。
ｋ回目に勝敗が決まった時にＮ＝ｋとなる確率変数をＮとし、それまでに二人ともにあてた回数をＸとする。

(1) Ａさんが勝つ確率を求めよ。
(2) Ｎの期待値を求めよ。
(3) 条件付き確率Ｐ(X-j | N=k)を求めよ。

という問題がわかりません
解説よろしくお願いします

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

１回の勝負で、
Ａさんが勝つ確率は、a(1-b)
Ｂさんが勝つ確率は、b(1-a)
引き分けになる確率は、ab+(1-a)(1-b)

k回目に勝敗が決まったということは、(k-1)回目までは引き分けが続いたということです。

(1)
k回目にＡさんが勝つ確率は、
{ab+(1-a)(1-b)}^(k-1)*a(1-b)
なので、Ａさんが勝つ確率は、
Σ[k=1・・・∞]{ab+(1-a)(1-b)}^(k-1)*a(1-b)
＝a(1-b)/{1-ab-(1-a)(1-b)}
＝a(1-b)/(a+b-2ab)

(2)
k回目に勝敗が決まる確率は、
{ab+(1-a)(1-b)}^(k-1)*{a(1-b)+b(1-a)}
なので、Ｎの期待値は、
Σ[k=1・・・∞]k{ab+(1-a)(1-b)}^(k-1)*{a(1-b)+b(1-a)}
＝{a(1-b)+b(1-a)}/{1-ab-(1-a)(1-b)}^2
＝1/(a+b-2ab)

(3)X-j って何でしょう？
Ｐ(X=j | N=k)のタイプミスなら、
「ｋ回目に勝敗が決まった時、二人ともにあてた回数がj回である確率」ということなので、
Ｐ(X=j | N=k)＝(k-1)Cj*(ab)^j*{(1-a)(1-b)}^(k-j-1)