確率の問題です

質問

(1)nを２以上の自然数とする。0と1からなる数列x_1,x_2,x_3,・・,x_nで、同じ数が３個以上は続いて並ばないものを考える。このような数列のうち、x_(n-1)=x_nを満たすものの個数をa_nとし、x_(n-1)＝/x_nを
満たすものの個数をb_nとおく。a_(n+1),b_(n+1)をa_n,b_nを用いてあらわせ。
(2)硬貨を繰り返し投げる。３回続けて同じ面がでたら、そこで投げるのをやめる。ちょうどn回投げて止める確率をp_nとおく。p_11を求めよ。

解ける方、解き方を教えてください。お願いします。
＝/はノットイコールです。

回答No.5

yyssaa

No.4です。改めて回答します。
(1)＞
x1.x2,・・・,x_(n-2),x_(n-1),x_nがx1,x2,・・・,1,0,0又は・・・,0,1,1
の数列がa_n個、
x1,x2,・・・,x_(n-2),x_(n-1),x_nがx1,x2,・・・,0,0,1又は・・・,1,0,1
又は,・・・0,1,0又は・・・1,1,0の数列がb_n個、
nがn+1になったとき、
a_n個のうちの・・・,x_(n-2),x_(n-1),x_nが・・・1,0,0のときx_(n+1)=1(b)
a_n個のうちの・・・.x_(n-2),x_(n-1),x_nが・・・0,1,1のときx_(n+1)=0(b)
b_n個のうちの・・・,x_(n-2),x_(n-1),x_nが・・・0,0,1のときx_(n+1)=0又は1(b又はa)
b_n個のうちの・・・,x_(n-2),x_(n-1),x_nが・・・1,0,1のときx_(n+1)=0又は1(b又はa)
b_n個のうちの・・・,x_(n-2),x_(n-1),x_nが・・・0,1,0のときx_(n+1)=0又は1(a又はb)
b_n個のうちの・・・,x_(n-2),x_(n-1),x_nが・・・1,1,0のときx_(n+1)=0又は1(a又はb)
以上からa_(n+1)=b_n、b_(n+1)=a_n+b_n・・・答
(2)＞
ちょうどn回投げて止めるのは、(n-1)回までは
３回続けて同じ面がでることはなく、n回目に３回続けて
同じ面がでる場合だから、p_11は上記の問(1)のn=10の数列
のうちのx9=x10の数列、すなわち(a_10)個の数列が生じる
確率に1/2(x11=x10となる確率)を乗じた数値となる。
a_(n+1)=b_n、b_(n+1)=a_n+b_nから
a_(n+1)=a_(n-1)+b_(n-1)=a_(n-1)+a_(n)
すなわちa_(n+1)=a_(n)+a_(n-1)だから
a_(10)=a_(9)+a_(8)
a_(9)=a_(8)+a_(7)
a_(8)=a_(7)+a_(6)
a_(7)=a_(6)+a_(5)
a_(6)=a_(5)+a_(4)
a_(5)=a_(4)+a_(3)
a_(4)=a_(3)+a_(2)
からa_(10)をa_(3),a_(2)で表すと
a_(10)=a_(9)+a_(8)
a_(9)+a_(8)=2a_(8)+a_(7)
2a_(8)+a_(7)=3a_(7)+2a_(6)
3a_(7)+2a_(6)=5a_(6)+3a_(5)
5a_(6)+3a_(5)=8a_(5)+5a_(4)
8a_(5)+5a_(4)=13a_(4)+8a_(3)
13a_(4)+8a_(3)=21a_(3)+13a_(2)
辺々加えて
a_(10)=21a_(3)+13a_(2)
ここでa_(2)はx1=x2となる数列x1,x2の数だから0,0と1,1で
a_(2)=2
a_(3)はx2=x3となる数列x1,x2,x3の数だから1,0,0と0,1,1で
a_(3)=2
よってa_(10)=21*2+13*2=68
0と1を10個並べる並べ方は全部で2^10=1024
以上からp_11=(68/1024)*(1/2)=17/512・・・答

回答No.4

yyssaa

No.3です。
済みません。勘違いです。
回答No.3は無視して下さい。

回答No.3

yyssaa

＞(1)について
一列に並んだn個の数字を隣り合った2個ずつ比較するのだから、
全部で(n-1)組を比較することになりa_n+b_n=n-1・・・(ア)。
同様にa_(n+1)+b_(n+1)=n・・・(イ)。
(ア)(イ)からnを消去してa_(n+1)+b_(n+1)=a_n+b_n+1・・・答

回答No.2

gomagoma427

（１）具体的に考えてみましょう。ｎは２以上ですので、一番小さなn=2のときを考えます。このとき可能な数列は、

00
11
01
10

です。最初の二つが　x_(n-1)=x_n　を満たすものであり、最後のふたつが満たさないものです。つまり

a_2 = 2
b_2 = 2

です。ルールとして３つ以上同じ数字が並ばないということですので、このうち最初のふたつの数列の次に出るものは決まってしまいます。

001
110

つまり、x_2 ≠ x_3 となるわけです。
これによって、a_2個の数列はすべてb_3個の数列に含まれることになります。

次にb_2個の数列を見て行くと、これにはふたつのパターンが考えられます。

(I) x_2 ≠ x_3 となる場合。
つまり、
010
101
です。
この場合、さらにb_2個の数列がb_3個の数列に含まれることになります。

（II）一方　x_2 = x_3 の場合、つまり
011
100
の場合は、b_2個の数列がa_3個の数列に含まれることになります。

ここで、n=3のときの数列はn=2で可能な数列にひとつ数字を足したものになるので、以上で全てだしきったことになります。つまり

a_3 = b_2
b_3 = a_2 + b_2

です。一般のnについても、今の考え方を順次繰り返していくだけですので、結果として

a_(n+1) = b_n
b_(n+1) = a_n + b_n

ということになります。

(2) は（１）の考え方を使います。表を０裏を１と考えれば、3回続けて同じ面が出てはいけないという条件は（１）の3回続けて同じ数字が出ないという条件に一致します。

p_11 を考えるためには、（１）で考えた数列で　x_9=x_10 なる数列x_1,x_2,x_3,・・,x_10がどのくらいあるのかを考えれば良いことになります。つまりa_10を考えます。なぜ１１回の試行なのに10回までしか考えなくてよいのかと言うと、
例えば

0011001100

と10個まで続いたものが得られれば、これが11回目で終わるためにはx_11=0と自然に決まってしまうからです。

さて、（１）を使って計算してみると、

a_2 = 2
b_2= 2

a_3 = b_2 = 2
b_3 = a_2 + b_2 = 4

a_4 = b_3 = 4
b_4 = a_3 + b_3 = 6

と続けていって、

a_10 = 68

となります。コインを11回投げて出る出方は２＾１１　だけありますので、答えは

６８/（２＾１１）

になるかと思います。