確率の問題

質問

２つの箱A、Bにそれぞれ白玉1個、赤玉3個が入っている。A,Bから球を1個取り出し交換して箱に入れる。
この操作をｎ回繰り返した後、Aに白玉1個、赤玉3個が入っている確率をP(ｎ)とする。

操作をｎ回(ｎ≧1)行った後、Aの白玉の個数は0,1,2個の3通りある。
(ｎ＋1)回目の操作の後、Aに白玉1個、赤玉3個が入っている確率は上記の場合分けに対応して
0個のとき(ア)
1個のとき(イ)
2個のとき(ウ)である。
ア、イ、ウに当てはまる適当なものを求めよ。
という問題についての質問なのですが、この場合ア、イ、ウで求めるのは(ｎ＋1)回目という一回の操作でAに白玉1個、赤玉3個が入る確率なのか、
ｎ回目に0、1、2となる確率を求めてそれに(ｎ＋1)回目という一回の操作でAに白玉1個、赤玉3個が入る確率をかけるのかどちらなのでしょうか？
結局答えは何なんでしょうか？
確率は苦手分野なので丁寧に教えてもらえると助かります。
回答よろしくお願いします。

回答No.1

nag0720

＞0個のとき(ア)

これは、

操作をｎ回(ｎ≧1)行った後、Aの白玉の個数が0個のとき、(ｎ＋1)回目の操作でAに白玉1個、赤玉3個が入っている確率(ア)

という意味です。

答は、
(ア) 4/4×2/4＝1/2　　（Aから赤、Bから白を取る）
(イ) 1/4×1/4＋3/4×3/4＝5/8　　（A,Bから白、または、A,Bから赤を取る）
(ウ) 2/4×4/4＝1/2　　（Aから白、Bから赤を取る）

たぶん、書かれているのは、問題の全文ではなくて一部ではないですか。
このあと、P(n)の漸化式を作って、それを解きなさいという問題になっているのでしょう。

漸化式は、
P(n+1)=(5/8)P(n)+(1/2){1-P(n)}
となるので、これを解けばP(n)が求まります。