確率の問題

質問

最初、袋の中に1個の白玉と1個の赤玉が入っている 袋の中から1個取り出し、取り出した玉と同じ色の玉を2個袋の中に入れる試行を繰り返す この試行を1回行う度に袋の中の玉の数は1個増加する
(1)試行をn回行った後に袋に入っている白玉の個数が1個である確率を求めよ
(2)試行をn回行った後に袋に入っている白玉の個数が2個である確率を求めよ

教えてください お願いします

回答No.5

MagicianKuma · ベストアンサー

(1)は正解ですね。
>あとはどうするのでしょうか？
(1)と同様に考えればいいですよ。
＞とりあえず5回から白を引く1回を選んで5Ｃ1
いいですよ。その調子。でその5通りを袋の状態の変化も考えつつ丹念にやってみましょう。
1回目に白を引く場合
　袋の状態：白黒→白白黒→白白黒黒→白白黒黒黒→白白黒黒黒黒→白白黒黒黒黒黒
　取った玉：↓白　　↓黒　　　↓黒　　　　　↓黒　　　　　↓黒　　　確率=1/2*1/3*2/4*3/5*4/6
２回目に白を引く場合
　袋の状態：白黒→白黒黒→白白黒黒→白白黒黒黒→白白黒黒黒黒→白白黒黒黒黒黒
　取った玉：↓黒　　↓白　　　↓黒　　　　　↓黒　　　　　↓黒　　　確率=1/2*1/3*2/4*3/5*4/6
３回目に白を引く場合
　袋の状態：白黒→白黒黒→白黒黒黒→白白黒黒黒→白白黒黒黒黒→白白黒黒黒黒黒
　取った玉：↓黒　　↓黒　　　↓白　　　　　↓黒　　　　　↓黒　　　確率=1/2*2/3*1/4*3/5*4/6
4回目に白を引く場合
　袋の状態：白黒→白黒黒→白黒黒黒→白黒黒黒黒→白白黒黒黒黒→白白黒黒黒黒黒
　取った玉：↓黒　　↓黒　　　↓黒　　　　　↓白　　　　　↓黒　　　確率=1/2*2/3*3/4*1/5*4/6
５回目に白を引く場合
　袋の状態：白黒→白黒黒→白黒黒黒→白黒黒黒黒→白黒黒黒黒黒→白白黒黒黒黒黒
　取った玉：↓黒　　↓黒　　　↓黒　　　　　↓黒　　　　　↓白　　　確率=1/2*2/3*3/4*4/5*1/6
で、確率の式をよく眺めると、分母は2*3*4*5*6で全て同じ、分子も順番は違えど1*1*2*3*4で同じ　要するにそれぞれ1/(5*6)=1/30
なので、全体では5*1/30=1/6　となります。　(1)のとき（白を1回も引かない）も1/6でしたね。　　
ひょっとしてn回試行した後に袋に入っている白色の個数には関わりなく同じ値？　それともたまたま一致した？
白色の個数には関わりなく同じ値と予想したら、どんな数値になるかというと、最終状態は白色の個数が１からn+1の状態があるので、1/(n+1)
おぉn=5を入れると、1/6で(1),(2)で求めた値となっている。可能性大だぞ・・・

結論：n回の試行後に袋に入っている白玉の個数がk (1≦k≦n+1)となる確率はkによらず、1/(n+1)
証明：結構難しいかもしれませんが、簡単な方法もあります。宿題にしておきます。（ずるいとか言わないように）

補足

(1)ただnを使わないと駄目なのですがどう考えれば1/(n+1)になるのか分からないです

(2)コンビネーションを忘れてました
nが2なら最初が白の1/2×1/3と最初が赤の1/2×2/3を足して2Ｃ1×1/2
nが3なら
最初が白 1/2×1/3×2/4＝1/12
2番が白 1/2×2/3×2/4＝2/12
3番が白 1/2×2/3×3/4＝3/12
全部足すと6/12＝3Ｃ1×1/2
n＝2のとき1 n＝3のとき3/2

なにか間違えましたね…
簡単な証明とやらも全く思いつかないです

色々教えていただいてありがとうございました

回答No.4

nag0720

＞1/2×2/3×3/4×4/5×5/6＝1/6
これを一般化するにはどうするのでしょうか？

n=5が分かるのなら、n=2,3,4も分かりますよね。
それらの答を並べてみれば、法則が見えてきます。

(2)は、n=5で考えれば、
5回のうち1回だけ白玉を取り出すことになります。
1回目だけ白玉、それ以外は赤玉を取り出したときの確率、
2回目だけ白玉、それ以外は赤玉を取り出したときの確率、
3回目だけ白玉、それ以外は赤玉を取り出したときの確率、
4回目だけ白玉、それ以外は赤玉を取り出したときの確率、
5回目だけ白玉、それ以外は赤玉を取り出したときの確率
をすべて求めてみてください。
その5つの確率を合計すればn=5の確率が出ます。
それができたなら、n=2,3,4の確率も求めれば法則が分かるでしょう。

補足

(1)はもしかして…(n-2)/(n-1)×(n-1)/n×n/(n+1)ですか？これをまとめるにはどうすればいいのでしょうか？

(2)は実際にやってみたらnがどんな値でも1/6ですね
nが2なら最初が白の1/2×1/3と最初が赤の1/2×2/3を足して1/2
nが3なら
最初が白 1/2×1/3×2/4＝1/12
2番が白 1/2×2/3×2/4＝2/12
3番が白 1/2×2/3×3/4＝3/12
全部足すと6/12＝1/2
などなど
全部1/2になりましたけどなぜでしょうか？

回答No.3

MagicianKuma

この問題けっこうおもしろいんです。思わぬ結果に驚くかも。
なので、是非自力で解いてみてください。まずはn=5とか適当にきめて考えてみれば良いかも。

補足

とりあえずできるところまでは自力でやります ただ分からないとこがたくさんあるのでヒントをください
n＝5だとすると
(1)は白を全く引かないパターンだから
1/2×2/3×3/4×4/5×5/6＝1/6
これを一般化するにはどうするのでしょうか？
(2)は1回だけ白を引くから、とりあえず5回から白を引く1回を選んで5Ｃ1
あとはどうするのでしょうか？

回答No.2

tengenseki

まず確率の分母は、夫々の回数での全組み合わせですね。

各回共、赤を出すか白を出すかの２通りあるから、組み合わせは

回を追うごとに倍、倍となっていきます。

白玉が１個のままでいるには各回どうであればいいか

白玉が２個となる組み合わせは回を追うごとにどう増えていくか

考えてください。

お礼

回答ありがとうございました

回答No.1

MagicianKuma

確率を計算する前に、
試行をn回行った後に袋に入っている白玉の個数が1個となるのは　1回目、2回目、3回目・・・
に何が起こったかは理解できますか？