6-11 高校数学の確率の問題です

質問

板の上に硬貨を置いて板をたたくとき、この硬貨が表から裏へひっくり返る確率をp、裏から表にひっくり返る確率をrとし、0<p<1,0<r<1とする　はじめに表を上にして硬貨を置き、板をn回たたいたときに表が出ている確率をa[n]とするとき、a[n]をp,r,nで表しlim[n→∞]a[n]を求めよ
答えはlim[n→∞]a[n]=r/(p+r)

注　最後の極限値はxですが、{a[n]}が収束するならn→∞のときa[n]=a[n-1]ですから、その極限値は(2)をみたすxであるのは当然です　(2)は画像の解説を見てください

注の所の{a[n]}が収束するならn→∞のときa[n]=a[n-1]になるのが何故なのか分かりません

回答No.2

noname#200911 · ベストアンサー

> {a[n]}が収束するならn→∞のときa[n]=a[n-1]ですから

これは間違いです。ｎがいくつであろうと１－ｐ－ｒ＝１かつｒ＝０でない限りａ［ｎ］＝ａ［ｎ－１］にはなりません。

ある整数より大きいすべてのｎについて
ａ［ｎ］＝（１－ｐ－ｒ）ａ［ｎ－１］＋ｒ
が成り立っていてａ［ｎ］の極限が存在し、その極限をｘとするならば、

左辺→ｘ
右辺→（１－ｐ－ｒ）ｘ＋ｒ

です。
右辺がそうなるのは１－ｐ－ｒもｒもｎに無関係だから。
極限が存在すれば一致するので

ｘ＝（１－ｐ－ｒ）ｘ＋ｒ

になります。

もちろん、収束することを別途いわないと意味がありません。

お礼

御返答有難うございます

補足

御返答有難うございます、全ての解答を書くべきでしたね、そうじゃないと正確な御説明を得られないですね

回答No.5

noname#200911

＃２の
> ｎがいくつであろうと１－ｐ－ｒ＝１かつｒ＝０でない限りａ［ｎ］＝ａ［ｎ－１］にはなりません。

という書き方は不適切で、「ｎがいくつであろうとａ［ｎ］が収束するというだけの理由でａ［ｎ］＝ａ［ｎ－１］にはなりません。」というべきでした。

いずれにしろａ［ｎ］＝ａ［ｎ－１］とはいえません。

お礼

御返答有難うございます

補足

御返答有難うございます、他の質問も答えていただけると助かります

回答No.4

sanzero

> {a[n]}が収束するならn→∞のときa[n]=a[n-1]ですから

>これは間違いです。ｎがいくつであろうと１－ｐ－ｒ＝１かつｒ＝０でない限りａ［ｎ］＝ａ［ｎ－１］にはなりません。

たしかにａ［ｎ］＝ａ［ｎ－１］と記述するのは誤りですね。
失礼しました。

お礼

御返答有難うございます

補足

ここではURLを貼れないので横着をしましたが全ての解説を書くべきでしたね

回答No.3

sanzero

>nは任意の値でmも任意の値だからという事ですか？

意味がわかりません。
今はnを∞に飛ばした極限を考えています。

お礼

御返答有難うございます

補足

そうなのですが、mに変わっても成り立つと言う意味ですよね？

回答No.1

sanzero

こんにちは

感覚的にはnが無限に飛んだ時、∞も∞ - 1も同じく∞であるという感じです。

lim[n→∞] a[n] = α
のとき
lim[n→∞] α[n - 1]
でn - 1= mとおけば
lim[n→∞] α[n - 1] = lim[m→∞] a[m] = α

お礼

御返答有難うございます

補足

有難うございます、nは任意の値でmも任意の値だからという事ですか？