硬貨の表がｒ回以上出る確率・・・

質問

表と裏の出る確率がそれぞれ1/2である硬貨を2n回投げるとき、表がｒ回以上出る確率をa_r、表がｓ回以下出る確率をb_rとする。
(1)n=1のときa_1、b_1を求めよ
(2)a_n=b_nを示せ
(3)a_n+1＝1/2[１－｛（２ｎ）！/　（2^n＊n!）^2｝]を示せ

この問題を解いています
(1)は3/4となりました
(2)は帰納法みたいにして示してはダメでしょうか？
(3)はいったいどこからこんな複雑な式を導くのか見当もつきませんでした。
回答いただければ幸いです。
ぜひよろしくお願いします

回答No.3

killer_7 · ベストアンサー

(2)について
証明できれば方法は何でもよいです．
ただ，表と裏の出る確率がひとしいコイン投げにおいて，
表がn回以上出る確率と，表がn回以下出る確率がひとしいことは，直感的には明らかですよね．以下のように考えてみましょう．
・表と裏の出る確率がひとしいから，
　表がちょうどk回出る確率と，裏がちょうどk回出る確率はひとしい．
・したがって，表がちょうどk回出る確率と，表がちょうど2n-k回出る確率はひとしい．
・このとき，表がk回以上出る確率と，裏が2n-k回以下出る確率はひとしい．
なぜなら，
（表がk回以上出る確率）
=（表がk回出る確率）+（表がk+1回出る確率）+・・・+（表が2n-1回出る確率）+（表が2n回出る確率）
=（表が2n-k回出る確率）+（表が2n-(k+1)回出る確率）+・・・+（表が2n-(2n-1)回出る確率）+（表が2n-2n回出る確率）
=（表が2n-k回出る確率）+（表が2n-k-1回出る確率）+・・・+（表が1回出る確率）+（表が0回出る確率）
=（表が2n-k回以下出る確率）
であるから．

したがって，a_n=b_nだけでなく，一般に
a_k=b_{2n-k}・・・(a)
ですね．a_n=b_nは，これのk=nの場合です．

(3)について
示したいことを確認すれば容易です．
表がn+1回以上出る確率が～であることを証明せよ，と言われているのですね．

a_n=b_n，すなわち，
（表がn回以上出る確率）=（表がn回以下出る確率）
より，
（表がn+1回以上出る確率）=（表がn-1回以下出る確率）・・・(b)
です．
これは，(a)で書いたことを認めれば即座に出ます（k=n+1の場合）．
また，
（表がn+1回以上出る確率）+（表がちょうどn回出る確率）+（表がn-1回以下出る確率）=1・・・(c)
であり，
表がちょうどn回出る確率は，
2n C n*(1/2)^n(1-1/2)^n
=((2n)!/(n!n!))*(1/2)^(2n)
= (2n)!/(n!*2^n)^2
だから，(b)と(c)から，
（表がn+1回以上出る確率）=(1-(2n)!/(n!*2^n)^2)/2
です．
a_nやb_nといった記号に惑わされず，
何を示したいかということを見失わないようにしましょう．

回答No.2

Mr_Holland

「表がｓ回以下出る確率をb_rとする」とありますが、「表がr回以下出る確率をb_rとする」の誤記でしょうか。

　そうであれば、(1)はともに3/4で合っています。
　次に(2)ですが、a_nとb_nをnで表してみてください。

ヒント
１）表がちょうどr回出る確率をd_nとすると
　　d_n＝(2n)_C_n/(2^(2n))＝(2n)!/(2^n n!)^2　・・・・・・・（A)
　　ただし、n_C_rはコンビネーションを表す。（＝n!/{(n-r)!r!}
２）次に、a_nとb_nをそれぞれd_nを使って表す。
　　（このとき、Σを使って表すと整理できます。）
３）１）の式を使ってa_nとb_nをそれぞれnで表す。
　(参考)a_n＝[r=n→2n]Σ (2n)_C_r/{2^(2n)}・・・・・（B)
４）コンビネーションn_C_rは次の関係があることを利用してa_nの式を変形する。
　　n_C_r＝n_C_(n-r)
　すると、a_nの式がb_nの式と一致することが分かります。

　これで、
　　a_n=b_n　　・・・・・（C)
が示されました。
　次は(3)ですが、この問題は、式（C)ともうひとつの関係を使って解きます。

５）a_nとb_nを加えたものは、ちょうどn回出たときの確率d_nが重複していますので、
　　a_n+b_n＝1+d_n　　・・・・・（D)
６）式(C)と(D)の関係からa_nをd_nで表す。
　　(参考)　a_n＝(1+d_n)/2　　・・・・・・(E)
７）式(B)の右辺はd_nとa_(n+1)の和の形になっているので、
　　a_n＝d_n＋a_(n+1)　　・・・・・・・・(F)
８）式(E)と(F)を連立してa_nを消去すると、
　　a_(n+1)＝(1-d_n)/2　　・・・・・・・（G)
９）あとは、式(G)に式(A)を代入すれば、求める式が得られます。

回答No.1

Kules

(1)は問題ないですね
(2)2n回投げて表がr回以上というのは、表がでる回数がr,r+1,r+2,…2n回のいずれかということです。表がk回出る確率は2nCk(1/2)^2n(Cは組み合わせです)で表せるので、a_nはΣ記号を用いて
a_n=Σ(k=nから2nまで)2nCk(1/2)^2n と表せます。同様に、
b_n=Σ(k=0からnまで)2nCk(1/2)^2n となります。ここで、
nCk=nC(n-k)を使ってやると、
2nCn+2nC(n+1)+2nC(n+2)+…+2nC2n=2nCn+2nC(n-1)+2nC(n-2)+…2nC0
となるので、a_n=b_nとなります。
(3)a_n+1とはa_(n+1)のことでしょうか？だとすると上で作ったa_nのnをn+1に変えて、
a_(n+1)=Σ（k=n+1から2n+2まで)(2n+2)Ck(1/2)^(2n+2)…I
となります。ここで(2)よりΣ(k=n+1から2nまで)(2n+2)CkとΣ(k=0からn+1)(2n+2)Ckは同じであることがわかっています。さらに２項定理を思い出してやると、
2^(2n+2)=(1+1)^(2n+2)=Σ(k=0から2n+2まで)(2n+2)Ckとなるので、
2^(2n+2)a_(n+1)=αとおいてやると(上式Iに2^(2n+2)をかけたものです)
2α=2^(2n+2)+(2n+2)C(n+1)となります。
あとは両辺整理していくと解答の形になります…と言いたかったのですが、私がどこかで計算ミスをしているのか、どうしてもなりません。ただ、非常に近いものは出てくるのでこんな感じなんかな、と思います。

長文＆見にくい解答の上答え出なくてごめんなさい。参考になれば幸いです。