- ベストアンサー
硬貨の表がr回以上出る確率・・・
- みんなの回答 (3)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
(2)について 証明できれば方法は何でもよいです. ただ,表と裏の出る確率がひとしいコイン投げにおいて, 表がn回以上出る確率と,表がn回以下出る確率がひとしいことは,直感的には明らかですよね.以下のように考えてみましょう. ・表と裏の出る確率がひとしいから, 表がちょうどk回出る確率と,裏がちょうどk回出る確率はひとしい. ・したがって,表がちょうどk回出る確率と,表がちょうど2n-k回出る確率はひとしい. ・このとき,表がk回以上出る確率と,裏が2n-k回以下出る確率はひとしい. なぜなら, (表がk回以上出る確率) =(表がk回出る確率)+(表がk+1回出る確率)+・・・+(表が2n-1回出る確率)+(表が2n回出る確率) =(表が2n-k回出る確率)+(表が2n-(k+1)回出る確率)+・・・+(表が2n-(2n-1)回出る確率)+(表が2n-2n回出る確率) =(表が2n-k回出る確率)+(表が2n-k-1回出る確率)+・・・+(表が1回出る確率)+(表が0回出る確率) =(表が2n-k回以下出る確率) であるから. したがって,a_n=b_nだけでなく,一般に a_k=b_{2n-k}・・・(a) ですね.a_n=b_nは,これのk=nの場合です. (3)について 示したいことを確認すれば容易です. 表がn+1回以上出る確率が~であることを証明せよ,と言われているのですね. a_n=b_n,すなわち, (表がn回以上出る確率)=(表がn回以下出る確率) より, (表がn+1回以上出る確率)=(表がn-1回以下出る確率)・・・(b) です. これは,(a)で書いたことを認めれば即座に出ます(k=n+1の場合). また, (表がn+1回以上出る確率)+(表がちょうどn回出る確率)+(表がn-1回以下出る確率)=1・・・(c) であり, 表がちょうどn回出る確率は, 2n C n*(1/2)^n(1-1/2)^n =((2n)!/(n!n!))*(1/2)^(2n) = (2n)!/(n!*2^n)^2 だから,(b)と(c)から, (表がn+1回以上出る確率)=(1-(2n)!/(n!*2^n)^2)/2 です. a_nやb_nといった記号に惑わされず, 何を示したいかということを見失わないようにしましょう.
その他の回答 (2)
- Mr_Holland
- ベストアンサー率56% (890/1576)
「表がs回以下出る確率をb_rとする」とありますが、「表がr回以下出る確率をb_rとする」の誤記でしょうか。 そうであれば、(1)はともに3/4で合っています。 次に(2)ですが、a_nとb_nをnで表してみてください。 ヒント 1)表がちょうどr回出る確率をd_nとすると d_n=(2n)_C_n/(2^(2n))=(2n)!/(2^n n!)^2 ・・・・・・・(A) ただし、n_C_rはコンビネーションを表す。(=n!/{(n-r)!r!} 2)次に、a_nとb_nをそれぞれd_nを使って表す。 (このとき、Σを使って表すと整理できます。) 3)1)の式を使ってa_nとb_nをそれぞれnで表す。 (参考)a_n=[r=n→2n]Σ (2n)_C_r/{2^(2n)}・・・・・(B) 4)コンビネーションn_C_rは次の関係があることを利用してa_nの式を変形する。 n_C_r=n_C_(n-r) すると、a_nの式がb_nの式と一致することが分かります。 これで、 a_n=b_n ・・・・・(C) が示されました。 次は(3)ですが、この問題は、式(C)ともうひとつの関係を使って解きます。 5)a_nとb_nを加えたものは、ちょうどn回出たときの確率d_nが重複していますので、 a_n+b_n=1+d_n ・・・・・(D) 6)式(C)と(D)の関係からa_nをd_nで表す。 (参考) a_n=(1+d_n)/2 ・・・・・・(E) 7)式(B)の右辺はd_nとa_(n+1)の和の形になっているので、 a_n=d_n+a_(n+1) ・・・・・・・・(F) 8)式(E)と(F)を連立してa_nを消去すると、 a_(n+1)=(1-d_n)/2 ・・・・・・・(G) 9)あとは、式(G)に式(A)を代入すれば、求める式が得られます。
- Kules
- ベストアンサー率47% (292/619)
(1)は問題ないですね (2)2n回投げて表がr回以上というのは、表がでる回数がr,r+1,r+2,…2n回のいずれかということです。表がk回出る確率は2nCk(1/2)^2n(Cは組み合わせです)で表せるので、a_nはΣ記号を用いて a_n=Σ(k=nから2nまで)2nCk(1/2)^2n と表せます。同様に、 b_n=Σ(k=0からnまで)2nCk(1/2)^2n となります。ここで、 nCk=nC(n-k)を使ってやると、 2nCn+2nC(n+1)+2nC(n+2)+…+2nC2n=2nCn+2nC(n-1)+2nC(n-2)+…2nC0 となるので、a_n=b_nとなります。 (3)a_n+1とはa_(n+1)のことでしょうか?だとすると上で作ったa_nのnをn+1に変えて、 a_(n+1)=Σ(k=n+1から2n+2まで)(2n+2)Ck(1/2)^(2n+2)…I となります。ここで(2)よりΣ(k=n+1から2nまで)(2n+2)CkとΣ(k=0からn+1)(2n+2)Ckは同じであることがわかっています。さらに2項定理を思い出してやると、 2^(2n+2)=(1+1)^(2n+2)=Σ(k=0から2n+2まで)(2n+2)Ckとなるので、 2^(2n+2)a_(n+1)=αとおいてやると(上式Iに2^(2n+2)をかけたものです) 2α=2^(2n+2)+(2n+2)C(n+1)となります。 あとは両辺整理していくと解答の形になります…と言いたかったのですが、私がどこかで計算ミスをしているのか、どうしてもなりません。ただ、非常に近いものは出てくるのでこんな感じなんかな、と思います。 長文&見にくい解答の上答え出なくてごめんなさい。参考になれば幸いです。
関連するQ&A
- 6-11 高校数学の確率の問題です
板の上に硬貨を置いて板をたたくとき、この硬貨が表から裏へひっくり返る確率をp、裏から表にひっくり返る確率をrとし、0<p<1,0<r<1とする はじめに表を上にして硬貨を置き、板をn回たたいたときに表が出ている確率をa[n]とするとき、a[n]をp,r,nで表しlim[n→∞]a[n]を求めよ 答えはlim[n→∞]a[n]=r/(p+r) 注 最後の極限値はxですが、{a[n]}が収束するならn→∞のときa[n]=a[n-1]ですから、その極限値は(2)をみたすxであるのは当然です (2)は画像の解説を見てください 注の所の{a[n]}が収束するならn→∞のときa[n]=a[n-1]になるのが何故なのか分かりません
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 確率 三枚の硬貨
(問)三枚の硬貨を同時に投げ、裏が出た硬貨を取り除いていく。この操作をすべての硬貨が取り除かれるまで繰り返し、n回目に試行が終わる確率をPnとする。 (1)P1、P2を求めよ。 (2)n回以上操作が続く確率Qnを求めよ。 この問いの(2)がわかりません。(1)を誘導とみなし、Pnを求め、 Qn=1-(P1+P2+P3+・・・+Pn-1) として、Σを利用して解くと思うのですが、Pnが求まりません。 アプローチの仕方がおかしいのでしょうか。考え方だけでも構わないのでわかる方教えて下さい。 ちなみに、答は (1)P1=1/8 P2=19/64 (2)Qn=3/2(n-1)乗-3/4(n-1)乗+1/8(n-1)乗 です。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 硬貨の出る目の数について
硬貨の出る目の数について 4枚のコインを投げる時、少なくとも1枚裏が出る確率は? の答えの導き方をお教えください。 4枚のコインを投げる場合の、起こり得る全ての総数((1))はわかるのですが、 少なくとも1枚裏が出る確率((2))の出し方が分かりません。 (1)16。4枚の硬貨を同時に投げて、表・裏の総数nはn=2の4乗で16。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学A(確率)の解き方を教えてください。
A,Bの二人が、それぞれ硬貨を 1枚ずつ投げるゲームを行う。 1回のゲームにおいて、 ・【2枚とも表】→[Aの勝ち] ・【2枚とも裏】→[Bの勝ち] ・【表と裏】→[引き分け] とする。ただし、1枚の硬貨を 投げるとき、表が出る確率と 裏が出る確率は同じものとする。 また、このゲームを何回か 繰り返し行い、次のように 勝者を決める。 ・Aが合計で3勝したら、 その時点でAを優勝者とする。 ・Bが2回続けて勝ったら、 その時点でBを優勝者とする。 (1)1回のゲームでAが勝つ確率, Bが勝つ確率,引き分けになる確率 をそれぞれ求めよ。 (2)3ゲーム目で優勝者が決まる 確率を求めよ。 (3)4ゲーム目で優勝者が決まる 確率を求めよ。 (4)5ゲーム目で優勝者が決まる 確率を求めよ。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 確率
kを2以上の整数とする。硬貨を繰り返し投げて、表の出た回数がk回になるか、あるいは、裏の出た回数がk回になった時点で終了とする。 (1)k≦n≦2k-1を満たす整数nに対して、ちょうどn回で終了する確率P(n)を求めよ。 (2)k≦n≦2k-2を満たす整数nに対して、P(n+1)/P(n)を求めよ。 (3)P(n)を最大にするnを求めよ。 (1)はn-1回目までに表がk-1回出てn回目に表が出る場合とn-1回目までに裏がk-1回出てn回目に裏が出る場合に分けて求めた結果P(n)=(n-1)!/2{n-1}(k-1)!(n-k)!となりました。 (2)は(1)のP(n)からP(n+1)を求めて計算しようとしたのですが計算がよくわからなかったので教えてください。 (3)は(1)のP(n)で分母が最小かなと考えたのですができませんでした。 よろしくお願いします
- 締切済み
- 数学・算数
- 高校数学確率の問題です。
A が赤玉 1 個、B が白玉 1 個、C が青玉 1 個持っている。コイン投げでコインの表が出れば A と B の持ち玉を交換し、裏が出れば B と C の持ち玉を交換する。 N回コインを投げて繰り返したとき A、B、C が赤玉を持っている確率 A[n]、B[n]、C[n] を求める。 n = 1のとき ・表が出た場合、その確率は 1/2 であり、B が赤玉を持つことになるから B[1] = 1/2 ・裏が出た場合、その確率は 1/2 であり、A が赤玉を持つことになるから A[1] = 1/2 したがって A[1] = 1/2, B[1] = 1/2, C[1] = 0. 表が出れば、赤を持っているのが A なら B に、B なら A に、C なら C に移動する。 裏が出れば、赤を持っているのが A なら A に、B なら C に、C なら B に移動する。 よって、 A[n+1] = A[n]/2 + B[n]/2 ・・・・・(#1) B[n+1] = A[n]/2 + C[n]/2 ・・・・・(#2) C[n+1] = B[n]/2 + C[n]/2 ・・・・・(#3) この漸化式の解き方がよくわかりません。 (#1)-(#3)から A[n+1] - C[n+1] = (A[n]-C[n])/2 ですが、(#2)と(#3)、(#1)と(#2)ではうまい関係が導けません。
- ベストアンサー
- 数学・算数