確率漸化式の問題です

質問

高校、確率漸化式の問題です。
解答がなく、解き方もわかりません…。
ぜひ解き方を教えてください！
よろしくお願いします！

《問題》

投げたとき表と裏の出る確率がそれぞれ 1／2 の硬貨が３枚ある。その硬貨３枚を同時に投げる試行を繰り返す。持ち点０から始めて、１回の試行で表が３枚出れば持ち点に１が加えられ、裏が３枚出れば持ち点から１が引かれ、それ以外は持ち点が変わらないとする。n回の試行後に持ち点が３の倍数である確率をP nとする。このとき、次の各問に答えよ。

（１）P1、P2 を求めよ。（ 1 と 2 は小さい字）

（２）Pn＋1 をPnで表せ。（１は小さい字）

（３）Pnを ｎの式で表せ。

回答No.2

f272 · ベストアンサー

1回の試行で表が３枚出るのは確率1/8
1回の試行で裏が３枚出るのは確率1/8
1回の試行でそれ以外は確率6/8=3/4

1回の試行後は確率1/8で持ち点1，確率3/4で持ち点0，確率1/8で持ち点-1
持ち点が3の倍数であるのは確率3/4です。

2回の試行後は
持ち点1だったとき，確率1/8*1/8で持ち点2，確率1/8*3/4で持ち点1，確率1/8*1/8で持ち点0
持ち点0だったとき確率3/4*1/8で持ち点1，確率3/4*3/4で持ち点0，確率3/4*1/8で持ち点-1
持ち点-1だったとき確率1/8*1/8で持ち点0，確率1/8*3/4で持ち点-1，確率1/8*1/8で持ち点-2
持ち点が3の倍数であるのは確率1/8*1/8+3/4*3/4+1/8*1/8=19/32です。

上に書いたいろいろなケースを並べ替えて持ち点で整理すると
2回の試行後に持ち点0になるのは，
持ち点が+0+0となったとき確率3/4*3/4
持ち点が+1-1となったとき確率1/8*1/8
持ち点が-1+1となったとき確率1/8*1/8
2回の試行後に持ち点1または-2になるのは，
持ち点が+0+1となったとき確率3/4*1/8
持ち点が+1+0となったとき確率1/8*3/4
持ち点が-1-1となったとき確率1/8*1/8
2回の試行後に持ち点2または-1になるのは，
持ち点が+0-1となったとき確率3/4*1/8
持ち点が+1+1となったとき確率1/8*1/8
持ち点が-1+0となったとき確率1/8*3/4
です。と，この辺まで自分で地道に計算をしていると#1さんの書いてあるような漸化式にたどり着くのです。

回答No.1

gamma1854

ｎ回の試行後、もち点が、「３の倍数」「３で割って１あまる」「３で割って２あまる」となる確率をそれぞれ、
P[n], Q[n], R[n] とすると次の３式が成り立ちます。
P[n+1]=(3/4)*P[n]+(1/8)*Q[n]+(1/8)*R[n],
Q[n+1]=(1/8)*P[n]+(3/4)*Q[n]+(1/8)*R[n],
R[n+1]=(1/8)*P[n]+(1/8)*Q[n]+(3/4)*R[n].
これを解いて、
P[n]=(1/3)*{1 + 2*(5/8)^n},
Q[n]=R[n]=(1/3)*{1 - 2*(5/8)^n}.
を得ます。
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※ もちろん、P[n]+Q[n]+R[n]=1 です。