確率漸化式（正四面体を倒す問題）

質問

平面上に正四面体が置いてある。平面と接している面の３辺のうちのひとつを任意に選び、これを軸として正四面体を倒す。ｎ回の操作の後に、最初に平面と接していた面が再び平面と接する確率を求めよ。

この問題に取り組んでいるのですが、確率漸化式を利用するということはわかったのですがどのように漸化式を作るのかがよくわかりません。ｎ回に再び接する確率をｐnとおくのでしょうか？
この手の問題に触れた経験が少なく非常に難しいです。回答よろしくお願いします

回答No.1

oobdoo · ベストアンサー

そうですね。n回目に元の面が接している確率をp(n)と置くと良いでしょう。

漸化式を作ればよいわけですが、それは即ちp(n)をp(n-1),p(n-2),…を使って表すということになります。(勿論使わないものがあっても良いのですが)

ここで、ポイントとなるのは、
1. (n-1)回目に元の面が接している時、n回目に元の面が接している確率は幾らか？
2. (n-1)回目に元の面以外の面が接している時、n回目に元の面が接している確率は幾らか？
3. 元の面が接している確率と元の面でない面が接している確率には、どのような関係があるのか？
ということになります。

まだヒントが必要なようでしたら、遠慮なく仰ってください。

回答No.3

age_momo

＞ｎ回に再び接する確率をｐnとおくのでしょうか？

整理しやすいように次のように考えるのも一つの方法です。

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基本的には#1,2さんと同じ事を書いています。『方程式』か
『連立方程式』かの違いだけですね。
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四面体のそれぞれの面をA,B,C,Dとしてn回回転させた時にAが
平面に接している確率をPA(n)、その他の面の確率も
それぞれPB(n),PC(n),PD(n)とする。

(n-1)回の時に面Aが平面に接していたならn回でAが接するのは有り得ない。
面Bが接していたのなら確率は1/3
以下、C,Dの時もそれぞれ確率1/3
よって

PA(n)=0*PA(n-1)+1/3*PB(n-1)+1/3*PC(n-1)+1/3*PD(n-1)
=1/3{PB(n-1)+PC(n-1)+PD(n-1)}

ところで題意から4面のいずれかは平面に接しているので

PA(n-1)+PB(n-1)+PC(n-1)+PD(n-1)=1

これでPA(n)とPA(n-1)の関係式が求まりますね。後は初期条件

PA(0)=1　　　(最初に接していた面をA、求める確率がPA(n)として)

を入れるだけです。

お礼

3人の方々回答ありがとうございました。
やっと理解できました。助かりました

回答No.2

yoikagari

逆に考えると言うのも手です。
「n回目で最初に平面と接していた面が再び平面と接するためには、n-1回目で元の面どういう状態になっていなければならないのか」
あとはoobdooさんもおっしゃてましたが、
「『n回目で元の面が平面と接する確率』と『n回目で元の面以外の面が平面と接する確率』との関係は何か」
です。

以上で、確率p(n)とp(n-1)に関する漸化式が出てくると思いますよ。