確率漸化式の問題

質問

漸化式の立て方を教えてください。問題文は以下の通りです。
「袋の中に 1 から 5 までの整数が 1 つずつ書かれた球が 5 個入っている。この袋から球を 1 個取り出し、その球に書かれた数を調べて袋に戻す操作を繰り返す。この操作を n 回繰り返し、取り出された球 n 個に書かれた整数の和が 3 の倍数となる確率を Pn とする。このとき、P n+1 を Pn を用いて表しなさい。」

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

n回の試行を終えた直後に
・和が3の倍数である確率を P(n)
・和が3で割って1余る確率を Q(n)
・和が3で割って2余る確率を R(n)
とします。
すべての自然数nに対して
P(n) + Q(n) + R(n) = 1 … ①
が成立します。

P(n+1) 、すなわち n+1回の試行を終えた直後に和が3の倍数である状況は次の３つに分類されます。
(i) n回終了時点で和が3の倍数であり、かつ、n+1回目に出る数字が3である
(ii) n回終了時点で和が3で割って1余る数であり、かつ、n+1回目に出る数字が2か5である
(iii) n回終了時点で和が3で割って2余る数であり、かつ、n+1回目に出る数字が1か4である

(i)(ii)(iii)をそれぞれ数式にすると
P(n) * (1/5)
Q(n) * (2/5)
R(n) * (2/5)
となります。この３つは互いに排反であり、かつすべての場合をつくしているので、求める漸化式は

P(n+1) = P(n) * (1/5) + Q(n) * (2/5) + R(n) * (2/5)
= P(n) * (1/5) + { Q(n) + R(n) } * (2/5)
（ここで①を利用して）
= P(n) * (1/5) + { 1 - P(n) } * (2/5)
= - (1/5) P(n) + (2/5)

となります。

回答No.2

ATZ1229tkt

n回目までの和が3の倍数ならn+1回目が3のときに3の倍数になる。
n回目までの和Ｓが3の倍数でないなら
　Ｓを3で割った余りが1ならn+1回目が2か5のときに3の倍数になる。
　Ｓを3で割った余りが2ならn+1回目が1か4のときに3の倍数になる。
従ってP[n+1]=P[n]･1/5+(1-P[n])･2/5=-1/5･P[n]+1/5