数学 確率漸化式(球の移動)の問題

質問

回答おねがいします。

確率漸化式の問題です。

赤球3個、白球3個の6個の球が、3つの袋A,B,Cに2球ずつはいっている。同時に各袋から1球を取り出して、袋Aから取り出した球を袋Bに、袋Bから取り出した球を袋Cに、袋Cから取り出した球を袋Aに入れる試行をTとする。
最初、3つの袋すべてに赤、白1球がはいっているとする。試行Tをn回繰り返した時、3つの袋すべてに赤、白各1球が入っている確率をp-nとする。

(1)p-1を求めよ。
(2)p-n+1をp-nで表せ。
(3)p-nを求めよ。

基本問題らしいのですが、解けないので(先生の説明もわかりにくく…)焦っています。
回答よろしくお願いします。
文系のわたしでもわかるような説明をしていただけるとありがたいです。

回答No.1

panasoniki · ベストアンサー

(1)
最初、A,B,Cの中身が赤白、赤白、赤白
の状態で、試行Tをして、また
赤白、赤白、赤白になる確率を求めます。

試行Tでは、2個のボールから１つを選んでとるという操作を
三回やるので、
８通りの場合があります。

そのうち、条件を満たすのは、
A,B,Cから赤、赤、赤が取り出される時と白、白、白がでる時
の2通りなので
求める確率はp-1=2/8=1/4です.

(2)
n+1回、試行Tをした後で
赤白、赤白、赤白になる確率を
n回、Tをやった後の状況を使ってあらわします。

n回、Tをやった後の状況は
赤白、赤白、赤白になっている（確率p-nで起こる）か
それ以外の場合（確率は1- p-n）の二つに１つです。

n回で赤白、赤白、赤白になっていてしかも
n＋１回で、赤白、赤白、赤白になる確率は、
（１）と同じ状況なので、1/4です。

n回で赤白、赤白、赤白でない場合は
赤赤、白白、赤白のように、
２つの袋で球は同じ色になって1つだけ赤白になります。

このとき、操作Tをしてn+1回目で
赤白、赤白、赤白となるには、
n回目のとき、赤白となっている袋で
入ってきた球と同じ球が出ていけば良いことが分かります。
その確率は1/2です。（他の袋はどちらを選んでも良い）

まとめると求める確率は
p-n+1 = 1/4×p-n + 1/2(1-p-n)　 = 1/2 - 1/4×p-n
となります。

（３）
(1)(2)で作った漸化式を解くだけです。

お礼

わかりやすかったです。
ありがとうございました。

回答No.3

yyssaa

(1)p-1を求めよ。
＞(ア)Aから赤を取り出し、BからもCからも赤を取り出す確率:(1/2)*(2/3)*(2/3)=2/9
(イ)Aから白を取り出し、BからもCからも白を取り出す確率:(1/2)*(2/3)*(2/3)=2/9
(ア)+(イ)=4/9・・・答
(2)p-n+1をp-nで表せ。
＞p-n+1=(4/9)*p-n
(3)p-nを求めよ。
＞p-nをp(n)と書くと
p(n)=(4/9)p(n-1)
p(n-1)=(4/9)p(n-2)
p(n-2)=(4/9)p(n-3)
・・・・・・・・・・・・・・・
p(2)=(4/9)p(1)
だから
p(n)=(4/9)p(n-1)=(4/9)^2p(n-2)=(4/9)^3p(n-3)=・・・・・
・・・=(4/9)^(n-2)p(2)=(4/9)^(n-1)p(1)=(4/9)^n・・・答

お礼

答えが違うみたいでした。
でも回答ありがとうございました。

回答No.2

u962878k

こういうのは樹形図を書いたらいいですよ。

Aで赤をとる→Bで赤をとる→Cで赤をとる　　=A(赤白）B(赤白）C（赤白）
　　　　　　　　　　　　　　　　　→Cで白をとる　　＝A（白白）B（赤白）C（赤赤）

　　　　　　　→Bで白をとる→Cで赤をとる　　　=A（赤白）B（赤赤）C（白白）　
　　　　　　　　　　　　　　　　→Cで白をとる　　　＝A(白白）B（赤赤）C（赤白）

Aで白をとる→Bで赤をとる→Cで赤をとる　　＝A（赤赤）B（白白）C（赤白）
　　　　　　　　　　　　　　　　　→Cで白をとる　　＝A（赤白）B（白白）C（赤赤）

　　　　　　　　→Bで白をとる→Cで赤をとる　　＝A（赤赤）B（赤白）C（白白）
　　　　　　　　　　　　　　　　→Cで白をとる　　　＝A（赤白）B(赤白）C（赤白）

となり8通りあります。この中で各袋に赤白とはいっているのは一番上と一番下の2通りです。
p-1=2/8=1/4です

Tをもう一回試行した場合、もう一回樹形図を書いていくと分かるのですが、今回は初期状態が
一回目のTを試行した後ですので、上の8通りがそれぞれ初期状態です。
一番上と一番下の状態は一回目と同じですので樹形図はパスです。
次に赤赤白白赤白が入った状態の6通りについて具体的には上から2番目の状態を考えると、
A（白白）B（赤白）C（赤赤）
Aは何をとっても白、Cは何をとっても赤ですね。つまりAは100％赤白そろいます。
Bについてなのですが、Bが白をとればABC赤白そろいます。赤をとれば赤白　白白　赤赤となりまたそろいません。
このように失敗しているのが初期状態（上から2番目～下から2番目）はBがどっちをとるかで成功失敗決まるので成功確率は
1/2です。

ぐだぐだ書きましたが、成功している状態から成功している状態には確率1/4
　　　　　　　　　　　　　　　失敗している状態から成功している状態には確率1/2

となるので、n回目に成功する確率がpnでn回目に失敗する確率は(1-pn)です。（←成功＋失敗＝１なので）
つまりn+1回目に成功するのはPn+1=(1/4)Pn+(1/2)*(1-Pn)=(-1/4)Pn+(1/2)

ここからこの漸化式を解くのですが、説明がうまくできません。そういう型を覚えて解くものだと思っていますので・・・
式変形をします。
Pn+1-(2/5)=(-1/4)(Pn-(2/5))
Tn=Pn-(2/5)とおくと
Tn+1=(-1/4)Tn
これは等比数列なので初項T1=P1-(2/5)=-(3/20)、公比(-1/4)の等比数列は
Tn=-(3/20)(-1/4)^(n-1)
ですのでTnを戻してあげて
Pn=(2/5)-(3/20)(-1/4)^(n-1)

なります。長文失礼しました。確率の問題は100通りくらいまでは樹形図を描いた方が正確で早いと昔高校教師に言われて
なるほどなと納得したことがあるので、樹形図はおすすめです。

お礼

わからなくなったら樹形図かくようにしてみます！！
ありがとうございました。