確率と漸化式の複合問題

質問

「箱Ａ、箱Ｂのそれぞれに赤球1個、白球3個、合計4個ずつ入っている
1回の試行で箱Ａの球1個と箱Ｂの球1個を交換する
この試行をn回繰り返したあと箱Ａに赤球1個、白球3個入っている確率をＰ（ｎ）とする

問題1　Ｐ（ｎ＋1）＝1/8Ｐ（ｎ）＋1/2　であることを証明せよ

問題２　Ｐ（ｎ）を求めよ　　　」

という問題で、問題1はできたのですが、問題2が何回やっても模範解答とあいません
私はこう考えました

この試行を1回繰り返したあと箱Ａに赤球1個、白球3個入っている確率＝Ｐ（1）＝5/8・・・1

ｘ＝1/8ｘ＋1/2
ｘ＝4/7
これをＰ（ｎ＋1）＝1/8Ｐ（ｎ）＋1/2の両辺から引く
Ｐ（ｎ＋1）-4/7＝1/8Ｐ（ｎ）＋1/2-4/7
　　　　　　　　　＝1/8（ｐ（ｎ）-4/7）

ここで数列｛Ｐ（ｎ＋1）-4/7｝を考える
・・・1より第一項が5/8　公比が1/8なので
Ｐ（ｎ）-4/7＝3/56×1/8＾（ｎ-1）
Ｐ（ｎ）＝3/56×1/8＾（ｎ-1）＋4/7

どこが間違っていますか？

回答No.2

ereserve67 · ベストアンサー

模範解答が間違いで，質問者様の解答が正しいと思います．

確率の問題というより漸化式の問題ですね．

P(n)=(3/56)(1/8)^{n-1}+4/7

少し整理すると，

（☆）P(n)=(1/7)(4+3/8^n)

ともかけますが，仮にこれでn=0とするとP(0)=1となりますね．これは試行が行われる前の状態が赤1白3である確率と考えると納得がいきます．そう，n=0でもよいのです．実際P(0)=1を初期条件として解くと同じ答えが得られます．

※この問題はマルコフ連鎖として定式化すると見通し良くなります．n回試行後Aが，

赤1白3となる確率P(n)

これに加えて，

白4となる確率をQ(n)
赤2白2となる確率R(n)

とすると，次の漸化式が成り立ちます．（状態の図と遷移確率を→で書いてみて下さい）

(1)P(n+1)=(5/8)P(n)+(1/2)Q(n)+(1/2)R(n)

(2)Q(n+1)=(1/2)Q(n)+(3/16)P(n)

(3)R(n+1)=(1/2)R(n)+(3/16)P(n)

すべて加えると

P(n+1)+Q(n+1)+R(n+1)=P(n)+Q(n)+R(n)

P(0)=1,Q(0)=R(0)=0であるから

P(n)+Q(n)+R(n)=1

Aはいつでも赤1白3，白4，赤2白2の状態のいずれかに必ずあるから当然です．これからQ(n)+R(n)=1-P(n)

となりますから，(1)に代入して

P(n+1)=(5/8)P(n)+(1/2)(1-P(n))

これが問題の漸化式です．これが求まればQ(n),R(n)を求められます．あるいはQ(n)=R(n)もすぐわかり，

Q(n)=R(n)=(3/14)(1-1/8^n)

となることも漸化式から導けます．（(2)-(3)とQ(0)=R(0)からQ(n)=R(n)，それとP(n)=1-2Q(n)から）
これらもよい演習なのでやってみて下さい．

お礼

回答ありがとうございます

計算の簡略化のためにそういったテクニックを使っているみたいですね
模範解答にはそういった記述が一切なかったために混乱してしまいました

回答No.1

asuncion

P(1) = 5/8
P(n+1) = P(n)/8 + 1/2

x = x/8 + 1/2
7x/8 = 1/2 = 4/8
x = 4/7
P(n+1) - 4/7 = (P(n) - 4/7)/8
数列{P(n) - 4/7}は、初項3/56、公比1/8の等比数列
P(n) - 4/7 = (3/56)・(1/8)^(n-1)
P(n) = (3/56)・(1/8)^(n-1) + 4/7

正しいように見えます。模範解答ではどうなっているのですか？

お礼

回答ありがとうございます
模範解答では

p(n)＝4/7＋3/7(1/8)^n

となっています

補足

申し訳ありません、ご回答をいただいて、もう一度よく見たところ解決しました
式変形するだけですね

模範解答だとｎ＝0のときを初項にして考えるというテクニックを使っていたので
混乱してしまいました

失礼いたしました