- ベストアンサー
確率(漸化式)
ある工作機械が2日連続して故障する確率は1/3 2日連続して故障しない確率は1/2 今日、この機械が故障したとすると、n日後この機械が故障しない確率を求めよ。 という問題で、n日後に故障しない確率をPnとおくと、計算過程を省くと Pn+1-4/7=-1/6(Pn-4/7) ※Pn+1はPnのnをn+1に書き換えたものです。 となり、 これを変形すると、数列{Pn-4/7}は、初項P0-4/7、公比-1/6だから Pn-4/7=(P0-4/7)(-1/6)^n-1+4/7 ∴Pn=(-4/7)(-1/6)^n-1+4/7 ※P0とはPnにおいてn=0 となるはずだと思うのですが、参考書には Pn=(-4/7)(-1/6)^n+4/7 となっているんです。 ご指摘よろしくお願いします。
- みんなの回答 (3)
- 専門家の回答
関連するQ&A
- だれか漸化式について教えてください。
もういい中年なのですが昔数学で苦手だった分野を 勉強しています。 いま『なるほど高校数学 数列の物語』と云う本を読んでいます。 漸化式のところでつまずいて前に進めません。 どなたか教えてもらえないでしょうか。 ------------------- 初項がA1、An+1=PAn+Q n>1 P、Qは定数 の漸化式で確認しておきましょう。 An+1-α=P(An-α) つまり An+1=PAn-Pα+α と与えられた漸化式 An+1=PAn+Q を見て、定数項を比べると Q=-Pα+α=α(1-P) となり、この式から α=Q/(1-P)・・・・・(1) とすればよいことが判ります。このとき数列{An-α}は An+1-α=P(An-α)より、公比Pの等比数列となり、その 初項は A1-α=A1-Q/(1-P)・・・・・・・(2) なので An-Q/(1-P)=(A1-Q/(1-P))×Pのn-1乗・・・・(3) よって An=(A1-Q/(1-P))×Pのn-1乗+Q/(1-P)・・・・・(4) と一般項が求まります。 ------------------- 数列{An-α}の公比はPになることは直感的に判るのですが 初項はどうして求めるのだろうかと思って読んでいたのですが 最後に求まったのはAnの一般項でした。 それに(4)式にn=1を代入して出てくるのはA1で当たり前の結果 です。 ここでの漸化式はAn+1-α=P(An-α)の形式に持ち込めたら 公比Pの等比数列の公式をあてはめることが出来てnの一般項 が求まると云う主旨かと思うのですが、説明の流れがいまひとつ つかめません。 解説のほどよろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- だれか漸化式について教えてください(第二段)
簡単の為以下の例を採りあげます。 An+1=2An-1 ・・・・・(1) A1=2、n>=1 (1)式は An+1-1= 2(An-1)・・・・・(2) と変形できるので数列{An-1}は公比2の等比数列で あることが判ります。 {An-1}の初項はA1-1=2-1=1 したがって数列{An-1}の一般項は An-1=1・2の(n-1)乗 ・・・・・(3) を満たし、一般項Anは An=2の(n-1)乗+1・・・・・(4) となります。 ------------------ 読本のなかの上記説明が次の点で理解できません。 疑問1.(2)式は“An+1-1”が公費2の等比数列である ことを示しているのではないか? どちらでもよいことかも知れないのですが紛らわしい ので“An+1-1”としたほうがよいと思うのです。 疑問2. 数列{An-1}の初項は1なので(3)式が成り立つと なっていますが、nに1、2、3、・・・と代入して “An-1”を計算していきました。すると 1、2、4、8、・・・となりますした。 公式An=nの(n-1)乗はnが1、2、3、4、・・・の自然数 (交差1の等差数列)の場合に成り立つとされてきた のに突然等比数列になっています。 それで正しいのでしょうが説明手順として納得できません。 スッキリ納得できる方法はないでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 確率と漸化式の複合問題
「箱A、箱Bのそれぞれに赤球1個、白球3個、合計4個ずつ入っている 1回の試行で箱Aの球1個と箱Bの球1個を交換する この試行をn回繰り返したあと箱Aに赤球1個、白球3個入っている確率をP(n)とする 問題1 P(n+1)=1/8P(n)+1/2 であることを証明せよ 問題2 P(n)を求めよ 」 という問題で、問題1はできたのですが、問題2が何回やっても模範解答とあいません 私はこう考えました この試行を1回繰り返したあと箱Aに赤球1個、白球3個入っている確率=P(1)=5/8・・・1 x=1/8x+1/2 x=4/7 これをP(n+1)=1/8P(n)+1/2の両辺から引く P(n+1)-4/7=1/8P(n)+1/2-4/7 =1/8(p(n)-4/7) ここで数列{P(n+1)-4/7}を考える ・・・1より第一項が5/8 公比が1/8なので P(n)-4/7=3/56×1/8^(n-1) P(n)=3/56×1/8^(n-1)+4/7 どこが間違っていますか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 確率の漸化式の問題
同じ大きさの5個の球に、それぞれ数字1,2,3,4,5を書いてつぼに入れておく、いま無作為に1個の球を取り出して、それに書かれた数字を記録し、それをつぼに戻す。 次にまた、このつぼから無作為に1個の球を取り出して、それに掻かれた数字を記録し、それをつぼに戻す。 このような思考をN回繰り返したとき、記録された数字のわが偶数になる確率をPn(n=1,2,3,・・・)とする。 このとき (1)P1,P2,P3を求めよ。 (2)Pn+1をPnを用いて表せ。 (3)Pn(n=1,2,3,・・・) この問題が分かりません。誰か分かる方解答方法を教えて下さい。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列 漸化式
こんばんは、 数列の漸化式、特性方程式について質問します。 An+1=pAn+q(n=1,2,3、、)p,qは定数はα=pα+qを満たすαを用いて、An+1-α=p(An-α)と変形出来ますよね。 そこで質問なのですが、An+1=pAn +qはAn+1とAnが連続しているからαと置いて、変形できるんですよね? ある問題を解いていて、A2n+1=1/2A2n-1 +1/2(n=1,2,3、、)という式も、 特性方程式を用いて、A2n+1-1=1/2(A2n-1-1)と変形していました。こちらの式は、A2n+1とA2n-1は連続していませんよね? 私の、特性方程式の使い方間違っているんでしょうか? よくわからないので、教えていただきたいです。お願いします!
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 漸化式と確率の問題で・・・・
問題 箱A,Bのそれぞれに赤玉1個白玉3個合計4個ずつ入っている。一回の試行で 箱A、Bの箱から無造作に1個ずつ選び交換する。この試行をn回繰り返した後、 箱Aに赤1個白3個入っている確率Pnを求めよ。 という問題がありました。 〔解答〕、 試行をn回繰り返した後→n+1回後への箱Aの変化の様子から 漸化式をつくる。 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 疑問1 なぜ、n回からn+1回への状況変化なのでしょうか? n回目のときにAに赤1白3はいっている確率なのだから、 やるとしたら、n-1回目からn回目の情況変化だとおもうのですが・・・・ n回目のときにAに赤1白3なのにn+1回めのときを考えているのはなぜでしょう? ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 試行をn回繰り返した後の箱Aに入っている玉は 赤1 白3 赤0 白4 赤2 白2 の3通りでそれぞれの情況である確率をPn、Qn、Rnとおく。 1回の試行で箱Aに入っている玉が (1)赤1 白3から赤1 白3になる確率は5/8 (2)赤0 白4から赤1 白3になる確率は1/2 (3)赤2 白2から赤1 白3になる確率は1/2 これらは排反であるので Pn+1=Pn×5/8+Qn×1/2+Rn×1/2 Pn+1=1/8Pn+1/2 この漸化式は Pn+1-4/7=1/8(Pn-4/7) なのでPnのn=0のときは1なので Pn=4/7+3/7(1/8)^n・・・答え ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 疑問2 なぜ、n=1の時ではなくn=0のときなんでしょうか? 試行がおこなわれず、0回のときもあるからで、n≧1ではなく n≧0からですか? ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列の漸化式質問
教科書で漸化式の記述です。 an+1=pan+qで与えられている数列の求め方 例 a1=3 an+1=3an-4 で定義されている数列を{an}とする 数列{an}は 3 , 5 , 11 , 29 , 83 ,・・・となりますよね。 この数列{an}の各項から2を引くとできる 数列を{an -2}は 1 , 3 , 9 , 27 , 81 , ・・・ となる。数列{an -2}は、初項1 公比3 の等差数列になっている。 数列{an}に対して、数列{an -2}の一般項は an -2=1×3^n-1となっています。 ここが何でn-1なのですか? {an}はn項あると思うのですが・・・ できるだけ詳しい解答お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の漸化式について質問です
数直線上を原点から右に、硬貨を投げて進む。 表が出れば1進み、裏が出れば2進むものとする。 ちょうど点nに到達する確率をp{n}とする。ただし、nは自然数とする。 (1)2以上のnについて、p{n+1}とp{n}、p{n-1}との関係式を求めよ。 (2)p{n}(n≧3)を求めよ。 (細野数学の確率 練習32) (1)で p{n+1}=1/2p{n}+1/2p{n-1}がでました。この出し方は分かります。 この後隣接三項間の漸化式を出すのですが、今までしてきた問題だと、 例えば a{n+2}=a{n+1}+6a{n} (n≧1) a{n+2}-3a{n+1}= -2(a{n+1}-3a{n})(もう一つは省略します。) 数列(a{n+1}-3a{n}) は初項a{2}-3a{1} でnに1を代入して初項がでました。 しかしこの問題の解答は p{n+1}+1/2p{n}=(p{n}+1/2p{n-1}) ⇔p{n+1}+1/2p{n}=p{1}+1/2p{0} とn=0を代入しています。本文にはnは自然数1以上、また(1)ではn≧2、(2)ではn≧3と意味がわからなくなってしまっています。 あとこの解答ではp{n+1}+1/2p{n}=~と出してますが、p{n}+1/2p{n-1}とした場合とはどこが違うのでしょうか。 わかりにくい文章で申し訳ありません。どなたかよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
n=0,1,2・・・なので、初項はP0-4/7で合っていると思います。