3項間漸化式？

質問

Pnが求めたい数列です。
(n+2)•Pn=n•Pn-2＋1
(P1=1/3 P2=1/4)

Pnの一般項はどのように求めれば良いのでしょうか。
隣接3項間に数字が含まれている場合…？

回答No.5

atkh404185 · ベストアンサー

(n+2)•Pn=n•Pn-2＋1 ・・・・・（Ａ）

P1=1/3 P2=1/4

（Ａ）にn=3，4，5，6，7，8，9，・・・・・・
を代入していきます。

n=3 を代入すると
5・Ｐ3=3・Ｐ1+1
Ｐ1=1/3 を代入して
5・Ｐ3=3・1/3+1
5・Ｐ3=1+1
5・Ｐ3=2
Ｐ3=2/5

n=4 を代入すると
6・Ｐ4=4・Ｐ2+1
Ｐ2=1/4 を代入して
6・Ｐ4=4・1/4+1
6・Ｐ4=1+1
6・Ｐ4=2
Ｐ4=2/6=1/3

n=5 を代入すると
7・Ｐ5=5・Ｐ3+1
Ｐ3=2/5 を代入して
7・Ｐ5=5・2/5+1
7・Ｐ5=2+1
7・Ｐ5=3
Ｐ5=3/7

n=6 を代入すると
8・Ｐ6=6・Ｐ4+1
Ｐ4=1/3 を代入して
8・Ｐ6=6・1/3+1
8・Ｐ6=2+1
8・Ｐ6=3
Ｐ6=3/8

n=7 を代入すると
9・Ｐ7=7・Ｐ5+1
Ｐ5=3/7 を代入して
9・Ｐ7=7・3/7+1
9・Ｐ7=3+1
9・Ｐ7=4
Ｐ7=4/9

n=8 を代入すると
10・Ｐ8=8・Ｐ6+1
Ｐ6=3/8 を代入して
10・Ｐ8=8・3/8+1
10・Ｐ8=3+1
10・Ｐ8=4
Ｐ8=4/10=2/5

n=9 を代入すると
11・Ｐ9=9・Ｐ7+1
Ｐ7=4/9 を代入して
11・Ｐ9=9・4/9+1
11・Ｐ9=4+1
11・Ｐ9=5
Ｐ9=5/11

・・・・・・・

これで、Ｐn が予想できると思います。

【解答】

(n+2)•Ｐn=n•Ｐn-2＋1 ・・・・・（Ａ）

P1=1/3 P2=1/4

(I)　n=2k-1 （k=2，3，4，5，・・・・・）のとき

（Ａ）は

(2k+1)•Ｐ2k-1=(2k-1)•Ｐ2k-3＋1 ・・・・・・（Ｂ）

(2k+1)•Ｐ2k-1=Ｑ2k-1 ・・・・・・（Ｃ）

とおくと、（Ｂ）は

Ｑ2k-1=Ｑ2k-3＋1

よって、数列｛Ｑ2k-1｝は、

初項 Ｑ1=3・Ｐ1=3・1/3=1，公差 1

の等差数列であるから、

Ｑ2k-1=1＋(k-1)・1
=1＋kー1
=k

（Ｃ）に代入して

(2k+1)•Ｐ2k-1=k

Ｐ2k-1=k/(2k+1)・・・・・（Ｄ）

n=2k-1 より　2k=n＋1　k=(n+1)/2

また、2k+1=(n+1)+1=n+2

よって、（Ｄ）は

Ｐn=(n+1)/2(n+2) ・・・・・・（Ｅ）

ここで、n=1 を代入すると

Ｐ1=2/(2・3)=1/3

よって、（Ｅ）は、n=1 のときにも成り立つ。

(II)　n=2k （k=2，3，4，5，・・・・・）のとき

（Ａ）は

(2k+2)•Ｐ2k=2k•Ｐ2k-2＋1 ・・・・・・（Ｆ）

(2k+2)•Ｐ2k=Ｑ2k ・・・・・・（Ｇ）

とおくと、（Ｆ）は

Ｑ2k=Ｑ2k-2＋1

よって、数列｛Ｑ2k｝は、

初項 Ｑ2=4・Ｐ2=4・1/4=1，公差 1

の等差数列であるから、

Ｑ2k=1＋(k-1)・1
=1＋kー1
=k

（Ｇ）に代入して

(2k+2)•Ｐ2k=k

Ｐ2k=k/(2k+2)・・・・・（Ｈ）

n=2k より　k=n/2

また、2k+2=n+2

よって、（Ｈ）は

Ｐn=n/2(n+2)・・・・・（Ｉ）

ここで、n=2 を代入すると

Ｐ2=2/(2・4)=1/4

よって、（Ｉ）は、n=2 のときにも成り立つ。

（Ｉ）、(II)より

　　　(n+1)/2(n+2)　(n=1，3，5，7，9，・・・・・)
Ｐn={
　　　 n/2(n+2)　　　(n=2，4，6，8，10，・・・・・)

(n+2)•Ｐn=n•Ｐn-2＋1 ・・・・・（Ａ）

で、

(n+2)•Ｐn=Ｑn・・・・・（Ｊ）

とおくと、（Ａ）は

Ｑn=Ｑn-2＋1

(I)　n=2k-1 （k=3，5，7、9，・・・・・ ) のとき

数列｛Ｑn｝は

初項　Ｑ1=3・Ｐ1=3・1/3=1，公差　1

の等差数列だから

Ｑn=Ｑ2k-1=1+(k-1)・1=k=(n+1)/2

よって、（Ｊ）は

(n+2)・Ｐn=(n+1)/2

Ｐn=(n+1)/2(n+2)

・・・・・・・（以下同じ）

(II)　n=2k （k=2，4，6、8，・・・・・ ) のとき

数列｛Ｑn｝は

初項　Ｑ2=4・Ｐ2=4・1/4=1，公差　1

の等差数列だから

Ｑn=Ｑ2k=1+(k-1)・1=k=n/2

よって、（Ｊ）は

(n+2)・Ｐn=n/2

Ｐn=n/2(n+2)

・・・・・・・（以下同じ）

のように、解答してもよいと思います。

すみません

「二次不等式x^2-2kx+2k^2-2≦0を満たす整数値がただ一つであるようなkの値の範囲を求めよ。」

を質問された方ですね。

訂正があります。

【(2) 放物線（Ａ）が x 軸と異なる２点で交わるとき】

の部分です。

-1/2<-√2<k<√2<1/2、放物線の対称性より

⇒　-3/2<-√2<k<√2<3/2、放物線の対称性より

(i) x=-1 のとき
f(-1)<0 かつ f(0)>0
が成り立てばよい。

⇒　(i) x=-1 のとき
　　f(-2)>0 かつ f(-1)<0 かつ f(0)>0
　　が成り立てばよい。

　f(-2)>0 より
　　4+4k+2k^2-2>0
　　2k^2+4k+2>0
　　k^2+2k+1>0
　　(k+1)^2>0
　　これは、常に成り立つ。・・・・・（Ａ）

を追加

（ア）、（イ）、（ウ）より
-√2<k<-1

⇒　（Ａ）、（ア）、（イ）、（ウ）より
　　-√2<k<-1

(iii) x=1 のとき
f(0)>0 かつ f(1)<0

⇒　(iii) x=1 のとき
　　f(0)>0 かつ f(1)<0　かつ　f(2)>0
　　が成り立てばよい。

　f(2)>0 より
　　2^2-2k×2+2k^2-2>0
　　4-4k+2k^2-2>0
　 2k^2-4k+2>0
　(k-2)^2>0
　これは、常に成り立つ ・・・・・・（Ｂ）

を追加

（ア）、（キ）、（ク）より
1<k<√2

⇒　（Ｂ）、（ア）、（キ）、（ク）より
　　　1<k<√2

以上７か所です。

申し訳ありませんでした。

y=f(x)<=0

を満たす整数がただ１つ存在する。

a を整数とするとき、

f(a-1)>0　かつ　f(a)<0　かつ　f(a+1)>0

が成り立ちます。

これは、x軸と２点で交わる下に凸の放物線を描いて、

x軸上に、２交点の間に点をとり、その値を a とします。

このとき　f(a)<0　になります。

次に、左の交点の左側に点をとり、その値を a-1 とします。

このとき　f(a-1)>0 になります。

さらに、右の交点の右側に点をとり、その値を a+1 とします。

このとき　f(a+1)>0 になります。

このことから、

f(a-1)>0 かつ f(a)<0 かつ f(a+1)>0

が成り立ちます。

本当に、申し訳ありませんでした。

お礼

お礼が遅くなり申し訳ありません、丁寧な御回答いつも助かっております。
二次不等式の問題に関しては解いていく中で気付いたので特に問題ありませんでした。わざわざ訂正有難うございます。

回答No.4

info222_

添え字のnと変数のnを区別するため、添え字の方には括弧 をつけて P[n ]のように書くことにします。

n=偶数のとき
(n+2)P[n]=nP[n-2]＋1
nP[n-2]=(n-2)P[n-4]+1
(n-2)P[n-4]=(n-4)P[n-6]+1
...
8P(6)=6P[4]+1
6P[4]=4P[2]+1
辺々,すべて加えると、両辺から共通項が消えて
(n+2)P[n]=4P[2]+(n-2)/2
=1+(n-2)/2=n/2
∴P[n]=(1/2)n/(n+2) ... (nが偶数のときの答え)

n=奇数のとき
(n+2)P[n]=nP[n-2]＋1
nP[n-2]=(n-2)P[n-4]+1
(n-2)P[n-4]=(n-4)P[n-6]+1
...
7P(5)=5P[3]+1
5P[3]=3P[1]+1
辺々,すべて加えると、両辺から共通項が消えて
(n+2)P[n]=3P[1]+(n-1)/2
=1+(n-1)/2=(n+1)/2
∴P[n]=(1/2)(n+1)/(n+2) ... (nが奇数のときの答え)

回答No.3

bran111

#2です。公判がミスプリがあったので訂正です。

(1)においてn ⇒n+1とおくと
[P(n+1)-1/2)]/(n+1)=[P(n-1)-1/2]/(n+3)
P(n+1)-1/2=[(n+1)/(n+3)][P(n-1)-1/2]=[(n+1)/(n+3)][(n-1)/(n+1)][P(n-3)-1/2]=.....
=[(n+1)/(n+3)][(n-1)/(n+1)]....[3/5][P(1)-1/2]=3/(n+3)(1/3-1/2)=-1/2(n+3)
P(n+1)=1/2-1/2(n+3)=(n+2)/2(n+3)
p(n)=(n+1)/2(n+2) : nは奇数　　　　　　　　　　(3)

(2),(3)が答え。これらは条件をことごとく満足することを確認されたい。

回答No.2

bran111

難問ですね。
(n+2)•P(n)=n•P(n-2)＋1
P(n)/n=P(n-2)/(n+2)+1/n(n+2)=P(n-2)/(n+2)+(1/n-1/(n+2))/2
P(n)/n-1/2n=P(n-2)/(n+2)-1/2(n+2)
[P(n)-1/2)]/n=[P(n-2)-1/2]/(n+2) (1)
[P(n)-1/2)]/n=[n/(n+2)][P(n-2)-1/2]=[n/(n+2)][(n-2)/n][P(n-4)-1/2]=...
=[n/(n+2)][(n-2)/n]....[4/6][P(2)-1/2]=4/(n+2)(1/4-1/2)=-1/(n+2)
P(n)=1/2-1/(n+2)=n/2(n+2) : nは偶数　　　(2)

(1)においてn ⇒n+1とおくと
[P(n+1)-1/2)]/(n+1)=[P(n-1)-1/2]/(n+3)
P(n+1)-1/2=[(n+1)/(n+3)][P(n-1)-1/2]=[(n+1)/(n+3)][(n-1)/(n+1)][P(n-3)-1/2]=.....
=[(n+1)/(n+3)][(n-1)/(n+1)]....[3/5][P(1)-1/2]=3/(n+3)(1/3-1/2)=-1/2(n+3)
P(n+1)=1/2-1/2(n+3)=(n+2)/2(n+3) (3)

(2),(3)が答え。これらは条件をことごとく満足することを確認されたい。
p(n)=(n+1)/2(n+2) : nは奇数

.
=

回答No.1

atkh404185

とりあえず、考え方です。

解き方は、２通りあると思います。

１　与えられた式を変形して解く。

２　n=1,2,3,4,・・・・・
　　と代入して、Ｐn の式を推測し、
　　数学的帰納法を使ってその式が成り立つことを証明します。

注意することは、

Ｐn，Ｐn+1，Ｐn+2 の隣接3項間ではなく、

Ｐn，Ｐn-2 の項の２項間の関係式だから、
（１つおき（とばし）の項の関係です）

『偶数項』と『奇数項』に分けて考えます。

たとえば、

n が奇数のとき
Ｐ2k+1=aＰ2k-1+b

n が偶数のとき
Ｐ2k+2=cＰ2k+d

のような感じです。