3項間漸化式？

質問

Pnが求めたい数列です。
(n+2)•Pn=n•Pn-2＋1
(P1=1/3 P2=1/4)

Pnの一般項はどのように求めれば良いのでしょうか。
隣接3項間に数字が含まれている場合…？

回答No.5

atkh404185 · ベストアンサー

(n+2)•Pn=n•Pn-2＋1 ・・・・・（Ａ）

P1=1/3 P2=1/4

（Ａ）にn=3，4，5，6，7，8，9，・・・・・・
を代入していきます。

n=3 を代入すると
5・Ｐ3=3・Ｐ1+1
Ｐ1=1/3 を代入して
5・Ｐ3=3・1/3+1
5・Ｐ3=1+1
5・Ｐ3=2
Ｐ3=2/5

n=4 を代入すると
6・Ｐ4=4・Ｐ2+1
Ｐ2=1/4 を代入して
6・Ｐ4=4・1/4+1
6・Ｐ4=1+1
6・Ｐ4=2
Ｐ4=2/6=1/3

n=5 を代入すると
7・Ｐ5=5・Ｐ3+1
Ｐ3=2/5 を代入して
7・Ｐ5=5・2/5+1
7・Ｐ5=2+1
7・Ｐ5=3
Ｐ5=3/7

n=6 を代入すると
8・Ｐ6=6・Ｐ4+1
Ｐ4=1/3 を代入して
8・Ｐ6=6・1/3+1
8・Ｐ6=2+1
8・Ｐ6=3
Ｐ6=3/8

n=7 を代入すると
9・Ｐ7=7・Ｐ5+1
Ｐ5=3/7 を代入して
9・Ｐ7=7・3/7+1
9・Ｐ7=3+1
9・Ｐ7=4
Ｐ7=4/9

n=8 を代入すると
10・Ｐ8=8・Ｐ6+1
Ｐ6=3/8 を代入して
10・Ｐ8=8・3/8+1
10・Ｐ8=3+1
10・Ｐ8=4
Ｐ8=4/10=2/5

n=9 を代入すると
11・Ｐ9=9・Ｐ7+1
Ｐ7=4/9 を代入して
11・Ｐ9=9・4/9+1
11・Ｐ9=4+1
11・Ｐ9=5
Ｐ9=5/11

・・・・・・・

これで、Ｐn が予想できると思います。

【解答】

(n+2)•Ｐn=n•Ｐn-2＋1 ・・・・・（Ａ）

P1=1/3 P2=1/4

(I)　n=2k-1 （k=2，3，4，5，・・・・・）のとき

（Ａ）は

(2k+1)•Ｐ2k-1=(2k-1)•Ｐ2k-3＋1 ・・・・・・（Ｂ）

(2k+1)•Ｐ2k-1=Ｑ2k-1 ・・・・・・（Ｃ）

とおくと、（Ｂ）は

Ｑ2k-1=Ｑ2k-3＋1

よって、数列｛Ｑ2k-1｝は、

初項 Ｑ1=3・Ｐ1=3・1/3=1，公差 1

の等差数列であるから、

Ｑ2k-1=1＋(k-1)・1
=1＋kー1
=k

（Ｃ）に代入して

(2k+1)•Ｐ2k-1=k

Ｐ2k-1=k/(2k+1)・・・・・（Ｄ）

n=2k-1 より　2k=n＋1　k=(n+1)/2

また、2k+1=(n+1)+1=n+2

よって、（Ｄ）は

Ｐn=(n+1)/2(n+2) ・・・・・・（Ｅ）

ここで、n=1 を代入すると

Ｐ1=2/(2・3)=1/3

よって、（Ｅ）は、n=1 のときにも成り立つ。

(II)　n=2k （k=2，3，4，5，・・・・・）のとき

（Ａ）は

(2k+2)•Ｐ2k=2k•Ｐ2k-2＋1 ・・・・・・（Ｆ）

(2k+2)•Ｐ2k=Ｑ2k ・・・・・・（Ｇ）

とおくと、（Ｆ）は

Ｑ2k=Ｑ2k-2＋1

よって、数列｛Ｑ2k｝は、

初項 Ｑ2=4・Ｐ2=4・1/4=1，公差 1

の等差数列であるから、

Ｑ2k=1＋(k-1)・1
=1＋kー1
=k

（Ｇ）に代入して

(2k+2)•Ｐ2k=k

Ｐ2k=k/(2k+2)・・・・・（Ｈ）

n=2k より　k=n/2

また、2k+2=n+2

よって、（Ｈ）は

Ｐn=n/2(n+2)・・・・・（Ｉ）

ここで、n=2 を代入すると

Ｐ2=2/(2・4)=1/4

よって、（Ｉ）は、n=2 のときにも成り立つ。

（Ｉ）、(II)より

　　　(n+1)/2(n+2)　(n=1，3，5，7，9，・・・・・)
Ｐn={
　　　 n/2(n+2)　　　(n=2，4，6，8，10，・・・・・)

(n+2)•Ｐn=n•Ｐn-2＋1 ・・・・・（Ａ）

で、

(n+2)•Ｐn=Ｑn・・・・・（Ｊ）

とおくと、（Ａ）は

Ｑn=Ｑn-2＋1

(I)　n=2k-1 （k=3，5，7、9，・・・・・ ) のとき

数列｛Ｑn｝は

初項　Ｑ1=3・Ｐ1=3・1/3=1，公差　1

の等差数列だから

Ｑn=Ｑ2k-1=1+(k-1)・1=k=(n+1)/2

よって、（Ｊ）は

(n+2)・Ｐn=(n+1)/2

Ｐn=(n+1)/2(n+2)

・・・・・・・（以下同じ）

(II)　n=2k （k=2，4，6、8，・・・・・ ) のとき

数列｛Ｑn｝は

初項　Ｑ2=4・Ｐ2=4・1/4=1，公差　1

の等差数列だから

Ｑn=Ｑ2k=1+(k-1)・1=k=n/2

よって、（Ｊ）は

(n+2)・Ｐn=n/2

Ｐn=n/2(n+2)

・・・・・・・（以下同じ）

のように、解答してもよいと思います。

すみません

「二次不等式x^2-2kx+2k^2-2≦0を満たす整数値がただ一つであるようなkの値の範囲を求めよ。」

を質問された方ですね。

訂正があります。

【(2) 放物線（Ａ）が x 軸と異なる２点で交わるとき】

の部分です。

-1/2<-√2<k<√2<1/2、放物線の対称性より

⇒　-3/2<-√2<k<√2<3/2、放物線の対称性より

(i) x=-1 のとき
f(-1)<0 かつ f(0)>0
が成り立てばよい。

⇒　(i) x=-1 のとき
　　f(-2)>0 かつ f(-1)<0 かつ f(0)>0
　　が成り立てばよい。

　f(-2)>0 より
　　4+4k+2k^2-2>0
　　2k^2+4k+2>0
　　k^2+2k+1>0
　　(k+1)^2>0
　　これは、常に成り立つ。・・・・・（Ａ）

を追加

（ア）、（イ）、（ウ）より
-√2<k<-1

⇒　（Ａ）、（ア）、（イ）、（ウ）より
　　-√2<k<-1

(iii) x=1 のとき
f(0)>0 かつ f(1)<0

⇒　(iii) x=1 のとき
　　f(0)>0 かつ f(1)<0　かつ　f(2)>0
　　が成り立てばよい。

　f(2)>0 より
　　2^2-2k×2+2k^2-2>0
　　4-4k+2k^2-2>0
　 2k^2-4k+2>0
　(k-2)^2>0
　これは、常に成り立つ ・・・・・・（Ｂ）

を追加

（ア）、（キ）、（ク）より
1<k<√2

⇒　（Ｂ）、（ア）、（キ）、（ク）より
　　　1<k<√2

以上７か所です。

申し訳ありませんでした。

y=f(x)<=0

を満たす整数がただ１つ存在する。

a を整数とするとき、

f(a-1)>0　かつ　f(a)<0　かつ　f(a+1)>0

が成り立ちます。

これは、x軸と２点で交わる下に凸の放物線を描いて、

x軸上に、２交点の間に点をとり、その値を a とします。

このとき　f(a)<0　になります。

次に、左の交点の左側に点をとり、その値を a-1 とします。

このとき　f(a-1)>0 になります。

さらに、右の交点の右側に点をとり、その値を a+1 とします。

このとき　f(a+1)>0 になります。

このことから、

f(a-1)>0 かつ f(a)<0 かつ f(a+1)>0

が成り立ちます。

本当に、申し訳ありませんでした。

お礼

お礼が遅くなり申し訳ありません、丁寧な御回答いつも助かっております。
二次不等式の問題に関しては解いていく中で気付いたので特に問題ありませんでした。わざわざ訂正有難うございます。