確率の最大値 Pn₊₁/Pn=1

質問

確率の最大値を求める問題で、Pn₊₁/Pn>1,Pn₊₁/Pn=1,Pn₊₁/Pn<1を調べる問題と、
Pn₊₁/Pn>1,Pn₊₁/Pn<1の二つだけ調べる問題があり、区別がつかずに迷っています。
具体的には、
白球１５個と赤球4個が箱に入っている。この箱から球を１個取り出す操作を繰り返す。ただし、取り出した球はもとに戻さない。n回目に取り出した球が３個目の赤球である確率をPnとするとき、Pnが最大となるnの値を求めよ。ただし3≦n≦18とする。
という問題では、Pn={(n-1)(n-2)(19-n)}/{2・19C4}　(19C4は19個の中から4個選ぶ組み合わせです。)より、Pn₊₁/Pn>1のとき、3n<38 より n<12.6 またPn₊₁/Pn<1のとき3n>38から　n>12.6 ゆえに　P3<P4<・・・P12<P13>P14>P15>・・・>P18したがってn=13のときが答えになっていました。
1つ目の質問として、この問題では、Pn₊₁/Pn=1を満たすとき、3n=38 n=12.6と整数にならないので、Pn₊₁/Pn>1,Pn₊₁/Pn<1の二つを調べたのでしょうか。
2つ目の質問として、類題は、Pn₊₁/Pn=1を満たす整数があるか問題ごとに確認して、整数にならない場合は、Pn₊₁/Pn=1を答案に書かないと区別すればよいのでしょうか。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

そんな区別は不要です。
nが大きくなるときにP(n)が大きくなるのか，変わらないのか，小さくなるのかを調べたいのです。P(n+1)/P(n)>1であれば大きくなるし，P(n+1)/P(n)=1であれば変わらない。P(n+1)/P(n)<1であれば小さくなります。
だからいつでも調べてみればよいのです。
調べ方はとにかくP(n+1)/P(n)=1をとけばよい。ここからn=約12.6となるので，nが整数だということから(等式が解けるのなら不等式でも簡単に解けます)， P3<P4<・・・P12<P13>P14>P15>・・・>P18を導けば良い。

お礼

いつでも3つの場合を調べるようにします。ありがとうございます。