確立の問題でわからないのが出たので教えてください

質問

問題集の問題で確立の問題があったのですがさっぱり分からないです。よろしくお願いします。

球15個と赤球6個が箱に入っている。
この箱から球を一個取り出す操作を繰り返す。
ただし取り出した球は元に戻さない。
n回目に取り出した球が3個目の赤球である確立をPnとするとき、
Pnが最大となるnの値を求めよ。
ただし3≦n≦21とする

という問題です。
できれば考え方も詳しく教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

回答No.5

ma-ku- · ベストアンサー

#2のものです。
中途半端に書き込んでちゃんとした回答を出すのが遅れてごめんなさい。
＃２に載っている式を変形させていくと下のようになっています。
6*5*4*15*14*…(15-ｎ+4)*(ｎ-１)C2/21*20*19*…(21-ｎ+1)
＝6*5*4*15!*(21-ｎ)!*(ｎ-1）C2/(18-ｎ)!*21!
＝6*5*4*15!*(ｎ-1)*(ｎ-2)*(21-ｎ)*(20-ｎ)*(19-ｎ)/21!*2
となります。
なので、定数の部分は変化しないので、ｎに関係する部分だけ考えればよいので。
ｆ(ｎ)＝(ｎ-1)*(ｎ-2)*(21-ｎ)*(20-ｎ)*(19-ｎ)
とします。
この五次関数を考えてください。
グラフで考えるとわかりやすいと思いますが、
ｎ＝-∞のとき、ｆ＝∞
ｎ＝∞のとき、ｆ＝-∞　です。
つまり、1<n<2で、下に凸
2＜ｎ＜19で、上に凸　　19＜ｎ＜20で、下に凸
20＜ｎ＜21で、上に凸　のグラフになります。
３＜ｎ＜18の範囲では上に凸のグラフになります。
この範囲でのｆの極大値を求めればよいのです。
微分で求めるより、ｎは整数に限られるので、代入していったほうがらくだと思います。
すると、ｆ(8)＜ｆ(9）＞ｆ(10)となり、ｎ＝9のときが回答になります。

＃2の回答は間違っています。
＃1の回答を鵜呑みにしてほしくなかったので、計算する前に書いてしまいました。
パソコンで数式を書くのが初めてなのでわかりにくいところが多いと思いますが、ご理解ください。

お礼

ありがとうございました。
これでやっと理解する事ができました。
最初の式が全然思い浮かばなかったです。
もう少し勉強して行きたいと思います。

回答No.4

fushigichan

kanchi2000さん、こんにちは。

＞球15個と赤球6個が箱に入っている。
　↑
白球、ということで、よろしいでしょうか？

P(n)は、n回目に、赤球が出て、それが通算３個目の赤球である、という確率なので
(n-1)回までは、赤玉は２個しか出ていません。
ということは、白玉は(n-3)回出ていることになる。

１回め、２回目・・・(n-1)回目のどこで赤球が出るかで
(n-1)C2　とおり
(n-1)回目までに赤球が２個出ている確率は、
とった球を元に戻さないので、

{(n-1)C2*15*14*・・・*(15-(n-3)+1)*6*5}/{21*20*・・*(21-(n-1)+1)
=(n-1)C2*15*14*・・*(15-n+4)*6*5/{21*20*・・*(21-n+2)

n回目には、赤球が出るので、その確率は
(n-1)回目までに赤球２個、白球(n-3)個出ているから
残りの赤球は４個、残りの白球は(15-(n-3))個
あわせて、4+15-(n-3)=21-n+1個の中から、４個のうちの赤玉を取る確率なので
4/(21-n+1)

これは、(n-1)回目までに赤球が２個出ている、という条件下での確率なので
n回目に３個目の赤球が出る確率は

(n-1)C2*15*14*・・*(15-n+4)*6*5/{21*20*・・*(21-n+2)×4/(21-n+1)
=(n-1)C2*15*14*・・*(15-n+4)*6*5*4/{21*20*・・*(21-n+1)}

となると思います。

お礼

回答ありがとうございます。
少しは理解できたのですがまだちょっとひっかかる部分がありました。
でもこれである程度の考え方が分かりました。
ありがとうございました

回答No.3

ma-ku-

＃２のものです。
Pn=6*5*4*15*14*…*（１５－ｎ＋４）*(ｎ-1)C2/21*20*…*（21－ｎ+１）
になると思います。

回答No.2

ma-ku-

10回目と11回目だと思われます。
＃１の回答には赤玉の取り出す時のならべかえの考えがはいってないような、、、
普通に考えて、n=3っておかしいような、、、

回答No.1

iro_han

とりあえず答えは、３です。
また問題文に気になることがあります。
＞ただし3≦n≦21とする
→ただし3≦n≦18とする
としたほうがいいと思います。

n=3のとき、Pn=(5×4×3)/(21×20×19)です。
n=4のとき、Pn=(5×4×3)/(21×20×19)×(15/18)です。
n=3のときの確率に「1以下」の数値を掛けているので、確率が下がることがわかります。
以降、nの値が大きくなればなるほど、掛ける「1以下」の数値が増えるので、確率は小さくなります。

私は数学が苦手だったので、正しい式での導き方はわかりません。ですので有識者の補足訂正を求めます。

自信有り度★☆☆☆☆