高校数学確率の問題です。

質問

A が赤玉 1 個、B が白玉 1 個、C が青玉 1 個持っている。コイン投げでコインの表が出れば A と B の持ち玉を交換し、裏が出れば B と C の持ち玉を交換する。
　N回コインを投げて繰り返したとき A、B、C が赤玉を持っている確率 A[n]、B[n]、C[n] を求める。

n = 1のとき
・表が出た場合、その確率は 1/2 であり、B が赤玉を持つことになるから
　　B[1] = 1/2
・裏が出た場合、その確率は 1/2 であり、A が赤玉を持つことになるから
　　A[1] = 1/2
したがって
　　A[1] = 1/2,　　B[1] = 1/2,　　C[1] = 0.

　表が出れば、赤を持っているのが A なら B に、B なら A に、C なら C に移動する。
　裏が出れば、赤を持っているのが A なら A に、B なら C に、C なら B に移動する。
　よって、
　　A[n+1] = A[n]/2 + B[n]/2 ・・・・・(#1)
　　B[n+1] = A[n]/2 + C[n]/2 ・・・・・(#2)
　　C[n+1] = B[n]/2 + C[n]/2 ・・・・・(#3)
　この漸化式の解き方がよくわかりません。
(#1)-(#3)から
　　A[n+1] - C[n+1] = (A[n]-C[n])/2
ですが、(#2)と(#3)、(#1)と(#2)ではうまい関係が導けません。

回答No.3

deshabari-haijo · ベストアンサー

B[n]とC[n]について、追加回答します。

B[n+1] = A[n]/2 + C[n]/2 から、B[n+2] = A[n+1]/2 + C[n+1]/2

B[n+2]
= A[n+1]/2 + C[n+1]/2
= (A[n]/2 + B[n]/2 + B[n]/2 + C[n]/2)/2
= {A[n]/2 + B[n]/2 + B[n]/2 + (1 - A[n]- B[n])/2}/2
= (B[n] + 1)/4
これを変形すると、
B[n+2] - 1/3 = (B[n] - 1/3)/4
よって、数列{B[n] - 1/3}は、
nが奇数のとき、初項(B[1] - 1/3)、公比1/4の等比数列になります。
また、nが偶数のとき、初項(B[2] - 1/3)、公比1/4の等比数列になります。

・n = 2k - 1（kは正の整数）のとき
B[3] - 1/3 = (B[1] - 1/3)/4であるから、
B[n] - 1/3 = (B[1] - 1/3)/4^(k-1)
よって、B[n] = 1/6 × 1/4^(k-1) + 1/3

・n = 2k（kは正の整数）のとき
B[4] - 1/3 = (B[2] - 1/3)/4であるから、
B[n] - 1/3 = (B[2] - 1/3)/4^(k-1)
よって、B[n] = (-1/12) × 1/4^(k-1) + 1/3

C[n+1] = B[n]/2 + C[n]/2から、C[n+2] = B[n+1]/2 + C[n+1]/2

C[n+2]
= B[n+1]/2 + C[n+1]/2
= (A[n]/2 + C[n]/2 + B[n]/2 + C[n]/2)/2
= (C[n] + 1)/4
これを変形すると、
C[n+2] - 1/3 = (C[n] - 1/3)/4
よって、数列{C[n] - 1/3}は、
nが奇数のとき、初項(C[1] - 1/3)、公比1/4の等比数列になります。
また、nが偶数のとき、初項(C[2] - 1/3)、公比1/4の等比数列になります。

・n = 2k - 1（kは正の整数）のとき
C[3] - 1/3 = (C[1] - 1/3)/4であるから、
C[n] - 1/3 = (C[1] - 1/3)/4^(k-1)
よって、C[n] = (-1/3) × 1/4^(k-1) + 1/3

・n = 2k（kは正の整数）のとき
C[4] - 1/3 = (C[2] - 1/3)/4であるから、
C[n] - 1/3 = (C[2] - 1/3)/4^(k-1)
よって、C[n] = (-1/12) × 1/4^(k-1) + 1/3

ついでに、ANo.1の大勢には全く影響のない訂正です。

誤：「{A[n]/2 + B[n]/2 + A[n]/2 + C[n]/2}/2」→
正：「(A[n]/2 + B[n]/2 + A[n]/2 + C[n]/2)/2」

誤：「また、、nが偶数のとき、」→
正：「また、nが偶数のとき、」

お礼

懇切丁寧な回答、まことにありがとうございました。大変よくわかりました。

回答No.2

deshabari-haijo

ANo.1の補足です。

・n = 2k - 1（kは正の整数）のとき
A[3] - 1/3 = (A[1] - 1/3)/4であるから、
A[n] - 1/3 = (A[1] - 1/3)/4^(k-1)
よって、A[n] = 1/6 × 1/4^(k-1) + 1/3

・n = 2k（kは正の整数）のとき
A[4] - 1/3 = (A[2] - 1/3)/4であるから、
A[n] - 1/3 = (A[2] - 1/3)/4^(k-1)
よって、A[n] = 1/6 × 1/4^(k-1) + 1/3

以上から、n = 2k - 1（kは正の整数）のときもn = k（kは正の整数）のときも、
A[n] = 1/6 × 1/4^(k-1) + 1/3（nではなくkで表されることに注意）

なお、B[n]とC[n]はもっと複雑そうですね。
追って回答するつもりです。

回答No.1

deshabari-haijo

A[n+1] = A[n]/2 + B[n]/2から、A[n+2] = A[n+1]/2 + B[n+1]/2

A[n+2]
= A[n+1]/2 + B[n+1]/2
= {A[n]/2 + B[n]/2 + A[n]/2 + C[n]/2}/2
= {A[n]/2 + B[n]/2 + A[n]/2 + (1 - A[n] - B[n])/2}/2
= (A[n] +1)/4
これを変形すると、
A[n+2] - 1/3 = (A[n] - 1/3)/4
よって、数列{A[n] - 1/3}は、
nが奇数のとき、初項(A[1] - 1/3)、公比1/4の等比数列になります。
また、、nが偶数のとき、初項(A[2] - 1/3)、公比1/4の等比数列になります。

B[n]とC[n]についても、同様に考えます。