級数 答えが合わない

質問

写真の級数を計算したいんですが、
Σ{i=0~n-1}Σ{j=i+1~n+1}{(n+1)_C_j}*{n_C_i} / 2^(2n+1)…式１とします。
これを
「A君がn個、B君がn+1個コインを机の上に投げます。そのときに表の数が多いほうが勝ち。引き分けはA君の勝ち」というゲームのB君のかつ確率として考えました。
これを
(1)
A君、B君がそれぞれｎ個コインを投げる。
(2)
そのあとにB君がさらにもう一個コインを投げる。

という様に考えると、(1)終了時点でB君のコインの表の数>A君のコインの表の数である確率はA君のコインの表の数>B君のコインの表の数である確率と等しくなります。この時点で（２）を行う前に、前者はBの勝ち、後者の場合はAの勝ちが決定します。
また表のコインの数が（１）終了時点で同じであった場合、B君がもう一個振って表だったらB君の勝ち裏だったらA君の勝ちとなり、
このように考えたら、両者の勝つ確率は等しくなるので、1/2よって式１＝1/2として答え2^2nとなったのですが、答えは2^(2n)-1となっています。
どこで間違えてるか指摘していただけますか？それとも根本的におかしいのでしょうか？

回答No.2

MagicianKuma · ベストアンサー

ただの計算問題を別の問題（この場合確率）を持ってきて解いてみようとするなんて。
なんてすばらしい感覚！私大好きです。これこそ数楽！！
で、iに関するΣが0からnだったら、「A君がn個、B君がn+1個コインを机の上に投げます。そのときに表の数が多いほうが勝ち。引き分けはA君の勝ち」というゲームのB君のかつ確率」として考えられたのに。残念でしたと言うだけのことです。
もうすこしあがいてみましょう。
Σ[i=0,n-1]Σ[j=i+1,n+1]n+1Cj・nCi
=Σ[i=0,n]Σ[j=i+1,n+1]n+1Cj・nCi - Σ[j=n+1,n+1]n+1Cj・nCn
=Σ[i=0,n]Σ[j=i+1,n+1]n+1Cj・nCi - n+1Cn+1・nCn
=Σ[i=0,n]Σ[j=i+1,n+1]n+1Cj・nCi - 1
で、最後の1項めは質問者のアイデアが適用できますね。で解けば2^(2n)となる。

お礼

回答ありがとうございます。すばらしい感覚僕のだったらいいんですけれど、教科書のヒントですね...TT　解説はなかったのでここで質問しました。ちなみにこれは只の計算問題としても解けるのですか？

回答No.1

Tacosan

i が n までいっていないことは何か影響しますか?

お礼

回答ありがとうございます。見落としていました。A君がn個表を出してB君が最後の一個を表にするか裏にするかで2通り勝つのは一通りだから、最後の勝つ通り数から１を引いたのがー１ということですか？

ちなみにこれはわざわざiをn-1でとめるのは何か理由があるのでしょうか？特に深い意味はないのでしょうか？ちなみにこれはただの計算問題なので、ほかの問題との関係性とかはないと思います。