解決済み

高校数学確率の問題です。

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お礼率 59% (80/135)

A が赤玉 1 個、B が白玉 1 個、C が青玉 1 個持っている。コイン投げでコインの表が出れば A と B の持ち玉を交換し、裏が出れば B と C の持ち玉を交換する。
N回コインを投げて繰り返したとき A、B、C が赤玉をもっている確率 A[n]、B[n]、C[n] を求める。

どう考えればいいのかさっぱりわかりません。

n = 1のとき
(1)表が出た場合、その確率は 1/2 であり、B が赤玉を持つことになるから
  B[1] = 1/2,  A[1] = C[1] = 0.
(2)裏が出た場合、その確率は 1/2 であり、A が赤玉を持つことになるから
  A[1] = 1/2,  B[1] = C[1] = 0.
したがって
  A[1] = 0 + 1/2 = 1/2
  B[1] = 1/2 + 0 = 1/2
  C[1] = 0 + 0 = 0

 ここからどう進めていけばいいのかわかりません。

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2

ベストアンサー率 31% (1586/5021)

>  A[1] = 1/2,  B[1] = 1/2,  C[1] =  0.
>  A[2] = 2/4,  B[2] = 1/4,  C[2] = 1/4.
>  A[3] = 3/8,  B[3] = 3/8,  C[3] = 2/8.
>  A[4] = 6/16,  B[4] = 5/16,  C[4] = 5/16.

何となく規則性みたいなものが出てきませんか?
分母が2^nになるのは当たり前として、
nが奇数のとき、分子の合計2^nを、AとBが等しく、かつ、Cが1だけ少ないよう分ける。
nが偶数のとき、分子の合計2^nを、BとCが等しく、かつ、Aが1だけ少ないように分ける。
この推論がすべての自然数nについて成り立つことをいうために、数学的帰納法あたりを
使ってみてはどうでしょう。
お礼コメント
musume12

お礼率 59% (80/135)

ありがとうございました。
投稿日時 - 2019-01-13 14:14:24
感謝経済

その他の回答 (全1件)

  • 回答No.1

ベストアンサー率 31% (1586/5021)

n = 2, 3あたりまで試してみては?
補足コメント
musume12

お礼率 59% (80/135)

n = 1のとき
・表が出た場合、その確率は 1/2 であり、B が赤玉を持つことになるから
  B[1] = 1/2
・裏が出た場合、その確率は 1/2 であり、A が赤玉を持つことになるから
  A[1] = 1/2
したがって
  A[1] = 1/2,  B[1] = 1/2,  C[1] = 0.

n = 2のとき
・A が赤玉を持っていて、表が出た場合、B が赤玉を持つことになるから
  B[2] = A[1]*(1/2) = 1/4.
 裏が出た場合、A が赤玉を持つことになるから
  A[2] = A[1]*(1/2) = 1/4.
・B が赤玉を持っていて、表が出た場合、A が赤玉を持つことになるから
  A[2] = B[1]*(1/2) = 1/4.
 裏が出た場合、C が赤玉を持つことになるから
  C[2] = B[1]*(1/2) = 1/4.
 したがって
  A[2] = 2/4,  B[2] = 1/4,  C[2] = 1/4.

n = 3 のとき
・A が赤玉を持っていて、表が出た場合、B が赤玉を持つことになるから
  B[3] = A[2]*(1/2) = (2/4)*(1/2) = 1/4.
 裏が出た場合、A が赤玉を持つことになるから
  A[3] = A[2]*(1/2) = (2/4)*(1/2) = 1/4.
・B が赤玉を持っていて、表が出た場合、A が赤玉を持つことになるから
  A[3] = B[2]*(1/2) = (1/4)*(1/2) = 1/8.
 裏が出た場合、C が赤玉を持つことになるから
  C[3] = B[2]*(1/2) = (1/4)*(1/2) = 1/8.
・C が赤玉を持っていて、表が出た場合、C が赤玉を持つことになるから
  C[3] = C[2]*(1/2) = (1/4)*(1/2) = 1/8.
 裏が出た場合、B が赤玉を持つことになるから
  B[3] = C[2]*(1/2) = (1/4)*(1/2) = 1/8.
 したがって
  A[3] = 3/8,  B[3] = 3/8,  C[3] = 2/8.

n = 4 のとき
・A が赤玉を持っていて、表が出た場合、B が赤玉を持つことになるから
  B[4] = A[3]*(1/2) = (3/8)*(1/2) = 3/16.
 裏が出た場合、A が赤玉を持つことになるから
  A[4] = A[3]*(1/2) = (3/8)*(1/2) = 3/16.
・B が赤玉を持っていて、表が出た場合、A が赤玉を持つことになるから
  A[4] = B[3]*(1/2) = (3/8)*(1/2) = 3/16.
 裏が出た場合、C が赤玉を持つことになるから
  C[4] = B[3]*(1/2) = (3/8)*(1/2) = 3/16.
・C が赤玉を持っていて、表が出た場合、C が赤玉を持つことになるから
  C[4] = C[3]*(1/2) = (2/8)*(1/2) = 2/16.
 裏が出た場合、B が赤玉を持つことになるから
  B[4] = C[3]*(1/2) = (2/8)*(1/2) = 2/16.
 したがって
  A[4] = 6/16,  B[4] = 5/16,  C[4] = 5/16.

 ここまで並べると
  A[1] = 1/2,  B[1] = 1/2,  C[1] =  0.
  A[2] = 2/4,  B[2] = 1/4,  C[2] = 1/4.
  A[3] = 3/8,  B[3] = 3/8,  C[3] = 2/8.
  A[4] = 6/16,  B[4] = 5/16,  C[4] = 5/16.
 分子の方が一般化の見通しが立ちません。n = 10 くらいまで計算したら、あるいはわかるかも知れませんが、ちょっと芸のない話です(笑)。n = 4 までのデータで A[n]、B[n]、C[n] を推定できますか?
投稿日時 - 2019-01-13 09:41:43
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