確率の問題(大学入試）

質問

ＡとＢのふたりが以下のゲームを行う。

表の出る確率がp（0<p<1)、裏の出る確率がq=1-pのコインを続けて投げる。一回投げるごとに、表が出ればＡが1点を、裏が出ればＢが1点を得るものとする。0対0から始めて、さきに2点多く得たほうが勝ちとする。
Ａ、Ｂの得点がi対jの時点でＡが勝つ確率をK(i,j)とする。たとえば、K(3,1)=1,K(1,3)=0である。次の問題に答えよ。

|i-j|≦1のとき、K(i,j)をK(i,j+1)とK(i+1,j)を用いて表わせ。

この問題がどうしてもわかりません。宜しくお願いいたします。

回答No.6

noname#33973 · ベストアンサー

確率は考えれば考えるほど判らなくなりますよね^^;

K(i,j)は状況(i,j)以降の試行を数えます。
ですから、
(2,1)⇒(2,2)⇒(3,2)⇒(4,2)
のうち
(2,2)⇒(3,2)⇒(4,2)
の部分の試行はK(2,2)((2,2)の状態からAが勝つ確率)に含まれていますよ。

どうもこんがらかっちゃってるご様子なので、
一度頭を真っ白にしてから、以下の解答をご覧になってみて下さい。
(ものすごくくどいですが…)

解答)
以下、Ａ、Ｂの得点がi対jの状態を(i,j)と表す。
また、K(i,j)を、Ａ、Ｂの得点がi対jの状態から決着が着くまでゲームを続けたときＡが勝つ確率と理解する。

まず、
イ)　(i,j)の状態から次の試行で表が出て(i+1,j)となる確率はp
ロ)　(i,j)の状態から次の試行で裏が出て(i,j+1)となる確率はq

一方、
ハ)　(i+1,j)の状態から決着が着くまでゲームを続けたときＡが勝つ確率はK(i+1,j)
ニ)　(i,j+1)の状態から決着が着くまでゲームを続けたときＡが勝つ確率はK(i,j+1)

(i,j)の状態から決着が着くまでゲームを続けたときＡが勝つ場合は、
ホ)　(i,j)の状態から次の試行で表が出て(i+1,j)となり、かつ、(i+1,j)の状態から決着が着くまでゲームを続けたときＡが勝つ場合
ヘ)　(i,j)の状態から次の試行で表が出て(i,j+1)となり、かつ、(i,j+1)の状態から決着が着くまでゲームを続けたときＡが勝つ場合
に分けられる。

ホ、ハは互いに背反であるから、
K(i,j)はホの確率とヘの確率の和である。
ホの確率は、イ、ハより、pK(i+1,j)
ヘの確率は、ロ、ニより、qK(i,j+1)

以上より
K(i,j)=pK(i+1,j)+qK(i,j+1)　(Ans.

補足

ありがとうございましたm(__)m
大変参考になり、
グチャグチャになっていた頭もスッキリしました。
何度も丁寧に教えていただき、本当にありがとうございました。

回答No.7

kony0

この問題でK(i,j)なんてのを定義する時点で、出題者のセンスないですねぇ。

普通だと、(Aの得点)-(Bの得点)=iの時点からAが勝つ確率をP(i)とするのが一般的。

P(-2)=0, P(2)=1
P(i)= p * P(i+1) + q * P(i-1)

P(-1) = p * P(0)
P( 0) = p * P(1) + q * P(-1)
P( 1) = p + q * P( 0)

これを解いて、
P(0)=p^2/(1-2pq)などが求められます。

＃問題のK(i,j)はP(i-j)に等しいです。

補足

ありがとうございました。
この問題はひねくれているんでしょうかね。
#7さんの回答にあるように
P(0)=p^2/(1-2pq)は、ズバリこの問題の(2)の問題の答えと合致していました。

回答No.5

noname#33973

K(i,j)というのは、「(i,j)の状態から決着が着くまで続けてAが勝つ確率」ですから、次の試行で勝たなければいけないわけではありません。

(2,1)⇒(2,2)となった場合でも、その後ゲームを続ければAが勝利する可能性があります。
(例えば　(2,1)⇒(2,2)⇒(3,2)⇒(4,2)）
その場合も「(2,1)の状態から決着が着くまで続けてAが勝った場合」に含まれますから、数える必要があります。

補足

ありがとうございます。

＞「(2,1)の状態から決着が着くまで続けてAが勝った場合」

に関してですが、もしも

＞(例えば　(2,1)⇒(2,2)⇒(3,2)⇒(4,2)）

の場合だと、K(i+1,j) に pを何回もかけなくてはならないのではないでしょうか？
この問題の解答から考えると

K(i,j)＝pK(i+1,j)＋qK(i,j+1)

なので試行は一回しか行われていないように思うのですが・・

何度もスミマセン。

回答No.4

eatern27

結論から言えば、#３さんの
Ｋ(i,j)＝ｐＫ(i+1,j)+qＫ(i,j+1)
が正解だと思います。

Ａ、Ｂの得点がi対ｊの状態を(i,j)と書く事にします

＞K(i+1,j)となるためには　pK(i,j) 同様に
とは、(i+1,j)になるのは(i,j)から表が出る場合だと考えたのでしょうか？
そもそも(i+1,j)になるのは(i,j)から表が出る場合だけではなく、(i+1,j-1)から裏が出る場合がありますね。

しかし、このような考え方で、何らかの漸化式が導けるかは分かりませんし、もし導けたとしても、K(i,j)とＫ(i,j+1),Ｋ(i+1,j)の関係を聞いているのに(i+1,j-1)を考えることになるので厄介ですね。

ですので次のように考えます。
(i,j)からＡが勝つのは
(i,j)→表が出て(i+1,j)になる→Ａの勝利・・・☆
(i,j)→裏が出て(i,j+1)になる→Ａの勝利・・・◎
という２つの場合が考えられます。

(i,j)から表が出る確率はｐ、(i+1,j)からAが勝つ確率はＫ(i+1,j)
よって、(i,j)から☆の手順でＡが勝つ確率はｐＫ(i+1,j)
同様に、(i,j)から◎の手順でＡが勝つ確率はｑＫ(i,j+1)

よって、Ｋ(i,j)＝ｐＫ(i+1,j)+ｑＫ(k,j+1)

補足

ありがとうございます。

解答のところで

＞K(i+1,j)となるためには　pK(i,j) 同様に
とは、(i+1,j)になるのは(i,j)から表が出る場合だと考えたのでしょうか？
そもそも(i+1,j)になるのは(i,j)から表が出る場合だけではなく、(i+1,j-1)から裏が出る場合がありますね。

しかし、このような考え方で、何らかの漸化式が導けるかは分かりませんし、もし導けたとしても、K(i,j)とＫ(i,j+1),Ｋ(i+1,j)の関係を聞いているのに(i+1,j-1)を考えることになるので厄介ですね。

の部分は納得できました。しかし、

＞(i,j)からＡが勝つのは
(i,j)→表が出て(i+1,j)になる→Ａの勝利・・・☆
(i,j)→裏が出て(i,j+1)になる→Ａの勝利・・・◎
という２つの場合が考えられます。

とありますが、ここの　◎の部分が納得がいきません。私の頭では、たとえば

Aの勝つ確率が K(2,1)の場合を考えたときに
K(2,1)→K(3,1) または　K(2,2) これが
K(i,j)→K(i+1,j)　または　K(i,j+1)
に対応していて、K(2,2)となった場合では、
まだAは勝てないのではないでしょうか？
だから qK(i,j+1) はAの勝つ確率には関係しないと思うのですが、ここの部分を今回の回答とは別の言葉で説明していただけないでしょうか？

宜しくお願いいたします。

回答No.3

noname#33973

問題文をそのまま読めば#1さんのような解釈になりますが、それでは問題にならないので、
「Ａ、Ｂの得点がi対jの時点でＡが勝つ確率をK(i,j)とする。」
は
「Ａ、Ｂの得点がi対jの時点での、(決着が着くまでゲームを続けたとき)Ａが勝つ確率をK(i,j)とする。」
と解釈すべきでしょうね。

とすれば、
状況(i,j)からpの確率で状況(i+1,j)、qの確率で状況(i,j+1)になりますから、
K(i,j)＝pK(i+1,j)＋qK(i,j+1)
になると思いますが…。

補足

ありがとうございました。
解答はそのようになっていました。
しかし、私は
K(i,j)＝pK(i+1,j)＋qK(i,j+1)　ではなく、
K(i+1,j)となるためには　pK(i,j) 同様に
K(i,j+1)となるためには　qK(i,j)　
と考えてしまいました。
とても基本的なことなのかもしれませんが、
確率をかけるものをK(i,j)　と思ってしまうのですが
この考え方のどの部分が間違っているのか、ご指摘頂けませんでしょうか？

回答No.2

sanori

＃１です。
さらに書きますが、
Ａ勝ちなら、１。
Ｂ勝ちまたは、どちらも勝ち出なければ、０。
もしも、こういう定義だとすれば、
|i-j|≦1のとき、K(i,j)＝０
となってしまい、K(i,j+1)もK(i+1,j)も登場する必要がありません。

補足

ありがとうございました。

回答No.1

sanori

|i-j|≦1 ということは、同点か１点差ということなので、
この場合は、そもそもK(i,j)の値は１とも０とも取れません。未定義です。

なぜならば、ご質問の文では、２点差（かそれ以上）の場合でしか、K(i,j)＝１（Ａ勝ち）または０（Ｂ勝ち）を定義していないからです。

２点差未満での定義を書き落としていませんか？

補足

私の意見ですが・・
Kはあくまで確率です。
問題文にたとえば、とあるようにk(3,1)は2点差がついているのでAが勝つ確率は1となるわけです。
ですので、1点差、または0点差のとき、その後Aが勝つ確率を求めたいわけです。

ちなみにこの問題は1996年度早稲田大学理工学部の数学の問題です。
再確認しましたが、問題文には間違いはありませんでした。