ある大学の入試問題 確率

質問

問、袋の中に赤球3個と白球1個が入っている。次のようなゲームをA君とB君の二人が行う。審判員が袋から1個の球を取り出し、色を確認して袋に戻す。取り出した球が赤球の場合はA君が1点を獲得し、白球の場合はB君がP点獲得する（ただし、P≧1とする）。これを繰り返し、最初に4点以上を獲得したほうの勝ちとし、その時点でゲームは終了となる

（１）P＝4のとき、球を4回取り出したところで、B君が勝つ確率
（２）P＝4のとき、B君が、A君より2点以上多く点数を獲得して勝つ確率
（３）P＝4のときのB君が勝つ確率
（４）P＝4のときのゲーム終了時にB君が獲得している期待値
（５）P＝3のとき、B君が勝つ確率

自分は
（１）27/256　（２）37/64　（３）175/256　（４）175/64　（５）47/128
だったのですが、合ってますか？

回答No.1

SoltyRevant · ベストアンサー

問、袋の中に赤球3個と白球1個が入っている。次のようなゲームをA君とB君の二人が行う。審判員が袋から1個の球を取り出し、色を確認して袋に戻す。取り出した球が赤球の場合はA君が1点を獲得し、白球の場合はB君がP点獲得する（ただし、P≧1とする）。これを繰り返し、最初に4点以上を獲得したほうの勝ちとし、その時点でゲームは終了となる

（１）P＝4のとき、球を4回取り出したところで、B君が勝つ確率
（２）P＝4のとき、B君が、A君より2点以上多く点数を獲得して勝つ確率
（３）P＝4のときのB君が勝つ確率
（４）P＝4のときのゲーム終了時にB君が獲得している期待値
（５）P＝3のとき、B君が勝つ確率

赤球を引く確率 x = 3/4
白球を引く確率 y = 1/4

ここは大丈夫ですね。

（１）P＝4のとき、球を4回取り出したところで、B君が勝つ確率
⇒「[赤、赤、赤、白]の順で引く」と言い換えられます。
=x^3*y^1
=3/4 * 3/4 * 3/4 * 1/4 = 27/256

（２）P＝4のとき、B君が、A君より2点以上多く点数を獲得して勝つ確率
⇒「[白]、[赤、白]、[赤、赤、白]のどれかのパターンを出す」
=y^1 + (x^1*y^1) + (x^2*y^1)
=1/4 + (3/4 * 1/4) + (3/4 * 3/4 * 1/4)
=1/4 + 3/16 + 9/64
=37/64

（３）P＝4のときのB君が勝つ確率
⇒「（１）と（２）の和」
=27/256 + 37/64
=175/256

（４）P＝4のときのゲーム終了時にB君が獲得している期待値
[赤、赤、赤、赤] = 0
[赤、赤、赤、白] = 27/256 * 4 = 108/256
[赤、赤、白] = 9/64 * 4 = 36/64
[赤、白] = 3/16 * 4 = 12/16
[白] = 1/4 * 4 = 1/1
⇒108/256 + 36/64 + 12/16 + 1/1 = 175/64

（５）P＝3のとき、B君が勝つ確率
⇒「赤を4回引く前に、白を2回引く」
[赤、赤、赤、白、白] = (3/4)^3 * (1/4)^2 = 27/1024
[赤、赤、白、白] = (3/4)^2 * (1/4)^2 = 9/256
[赤、白、白] = (3/4)^1 * (1/4)^2 = 9/64
[白、白] = (3/4)^0 * (1/4)^2 = 1/16
⇒27/1024 + 9/256 + 9/64 + 1/16 = 271/1024

問5は分からなかったので少し不安ですがこのような感じでしょうか。

お礼

回答ありがとうございます
自分も（5）は自信なかったです
とりあえずそれ以外の答えは一致して一安心です