確率の問題です。

質問

対戦するA、B ２人が表裏の区別のあるコインを２枚ずつ持っている。

２人は持っているコインすべてを同時に投げ、表が出たらコインの枚数の多い方が少ない方にコインを１枚渡すというゲームを続けて３回行う。ただし、どちらかのコインがなくなったときにはゲームを終了する。ただし、確率をあらわすときは既約分数とする。

(1) ２回のゲームで終了する確率
(2) ゲーム終了時にAのコインの枚数がｎ枚である確率P（ｎ）とすると、
P(０）＝
P(1)＝
P(2)=
P(3)=
P(4)=

である。

これらの求め方を教えてください。
答えは、上から、
(1)5/128
(2)65/2048, 465/2048 , 247/512 , 465/2048, 65/2048
です。
詳しく解説お願いします！

回答No.4

yyssaa

(1)を含めて再回答します
＞準備として次の確率を求めておく。
Aが持っているコインの枚数x1枚が1回投げることによりx2枚に
なる確率をP(x1,x2)とする。
P(1,1)は
Aが表でBが表裏裏の確率：(1/2)*(1/2)^3*3=3/16
Aが裏でBが裏裏裏の確率：(1/2)*(1/2)^3=1/16の合計だから
P(1,1)=1/4
P(1,2)は
Aが表でBが表表表の確率：(1/2)*(1/2)^3=1/16
Aが表でBが表表裏の確率：(1/2)*(1/2)^3*3=3/16
Aが裏でBが表表表の確率：(1/2)*(1/2)^3=1/16
Aが裏でBが表表裏の確率：(1/2)*(1/2)^3*3=3/16
Aが裏でBが表裏裏の確率：(1/2)*(1/2)^3*3=3/16の合計だから
P(1,2)=11/16
P(2,2)は
Aが表表でBが表表の確率：(1/2)^2*(1/2)^2=1/16
Aが表裏でBが表裏の確率：(1/2)^2*2*(1/2)^2*2=1/4
Aが裏裏でBが裏裏の確率：(1/2)^2*(1/2)^2=1/16の合計だから
P(2,2)=3/8
P(2,3)は
Aが表裏でBが表表の確率：(1/2)*(1/2)^2=1/8
Aが裏裏でBが表表の確率：(1/2)^2*(1/2)^2=1/16
Aが裏裏でBが表裏の確率：(1/2)^2*(1/2)=1/8の合計だから
P(2,3)=5/16
P(3,3)はBが1枚のままの確率でもあり、Bが1枚のままの確率は
Aが1枚のままの確率と等しいので
P(3,3)=P(1,1)=1/4
P(3,4)は
Aが裏裏裏でBが表の確率：(1/2)^3*(1/2)=1/16だから
P(3,4)=1/16
P(3,2)はBが1枚から2枚になる確率でもあるので、
P(3,2)=P(1,2)=11/16
P(2,1)はBが2枚から3枚になる確率でもあるので、
P(2,1)=P(2,3)=5/16
P(1,0)はBが3枚から4枚になる確率でもあるので、
P(1,0)=P(3,4)=1/16
以下、Aのコインの枚数が1回目でa1枚になり2回目でa2枚にる
事象をA(a1,a2)、2回でゲーム終了とならず3回目にAのコイン
の枚数がA(a1,a2,a3)とする。

(1) ２回のゲームで終了する確率
＞1回目でAのコインが1枚になり2回目でAのコインが0枚になる
事象A(1,0)が生じる確率はP(2,1)*P(1,0)=(5/16)*(1/16)=5/256
1回目でBのコインが1枚になり2回目でBのコインが0枚になる
事象も同じ確率で生じるので、
２回のゲームで終了する確率は(5/256)*2=5/128・・・答

(2) ゲーム終了時にAのコインの枚数がｎ枚である確率P（ｎ）とすると、
＞P(0)は事象A(1,0)又は事象A(1,1,0)又は事象A(2,1,0)が生じる
確率だから
P(0)=P(2,1)*P(1,0)+P(2,1)*P(1,1)*P(1,0)+P(2,2)*P(2,1)*P(1,0)
=(5/16)*(1/16)+(5/16)*(1/4)*(1/16)+(3/8)*(5/16)*(1/16)
=(5/256)+(5/1024)+(15/2048)=65/2048・・・答
＞P(1)は事象A(1,1,1)又は事象A(1,2,1)又は事象A(2,1,1)又は
事象A(2,2,1)又は事象A(3,2,1)が生じる確率だから
P(1)=P(2,1)*P(1,1)*P(1,1)+P(2,1)*P(1,2)*P(2,1)
+P(2,2)*P(2,1)*P(1,1)+P(2,2)*P(2,2)*P(2,1)+P(2,3)*P(3,2)*P(2,1)
=(5/16)*(1/4)*(1/4)+(5/16)*(11/16)*(5/16)+(3/8)*(5/16)*(1/4)
+(3/8)*(3/8)*(5/16)+(5/16)*(11/16)*(5/16)
=(5/256)+(275/4096)+(15/512)+(45/1024)+(275/4096)=465/2048・・・答
＞P(2)は事象A(1,1,2)又は事象A(1,2,2)又は事象A(2,1,2)又は
事象A(2,2,2)又は事象A(2,3,2)又は事象A(3,3,2)又は事象A(3,2,2)が
生じる確率だから
P(2)=P(2,1)*P(1,1)*P(1,2)+P(2,1)*P(1,2)*P(2,2)+P(2,2)*P(2,1)*P(1,2)
+P(2,2)*P(2,2)*P(2,2)+P(2,2)*P(2,3)*P(3,2)+P(2,3)*P(3,3)*P(3,2)
+P(2,3)*P(3,2)*P(2,2)
=(5/16)*(1/4)*(11/16)+(5/16)*(11/16)*(3/8)+(3/8)*(5/16)*(11/16)
+(3/8)*(3/8)*(3/8)+(3/8)*(5/16)*(11/16)+(5/16)*(1/4)*(11/16)
+(5/16)*(11/16)*(3/8)
=(55/1024)+(165/2048)+(165/2048)+(27/512)+(165/2048)+(55/1024)+(165/2048)
=988/2048=247/512・・・答
＞P(3)はBのコインの枚数が1枚である確率、すなわちAのコインの枚数が
1枚である確率P(1)と等しいからP(3)=465/2048・・・答
＞P(4)はBのコインの枚数が0枚である確率、すなわちAのコインの枚数が
0枚である確率P(0)と等しいからP(4)=65/2048・・・答

回答No.3

yyssaa

取り敢えず(1)だけ回答します
(1) ２回のゲームで終了する確率
＞1回目にAが表表でBが表裏の確率：(1/2)^2*(1/2)=1/8
1回目にAが表表でBが裏裏の確率：(1/2)^2*(1/2)^2=1/16
1回目にAが表裏でBが裏裏の確率：(1/2)*(1/2)^2=1/8
いずれの場合もAからBに1枚渡す。
2回目にAが表でBが裏裏裏の確率：(1/2)*(1/2)^3=1/16
2回でAのコインがなくなる確率：(1/8+1/16+1/8)*(1/16)=5/256
同様に2回でBのコインがなくなる確率：5/256
よって2回のゲームで終了する確率：(5/256)*2=5/128・・・答

回答No.2

f272

「２人は持っているコインすべてを同時に投げ、表が出たらコインの枚数の多い方が少ない方にコインを１枚渡す」と言うのはどういうこと？
コインは最初は2枚づつ持っている。このとき「コインの枚数の多い方」とか「少ない方」とかをどう考えればいいの？

回答No.1

DJ-Potato

引き分けの時にはコインのやりとりはないんですよね。

A1枚の時
勝てる確率は、
Aが表、Bが裏裏裏、の時なので、1/16
引き分ける確率は、
Aが表、Bが表裏裏、の時なので、3/16と
Aが裏、Bが裏裏裏、の時なので、1/16
合計4/16=1/4
負ける確率は、残りの11/16

2枚同士の時
勝てる確率は
Aが表表、Bは表裏、裏表、裏裏の3/16
Aが表裏、Bが裏裏の1/16
Aが裏表、Bが裏裏の1/16で
合計5/16
引き分ける確率は
Aが表表、Bが表表の1/16
Aが表裏または裏表、Bが表裏または裏表の4/16
Aが裏裏、Bが裏裏の1/16
合計6/16=3/8
負ける確率は勝てる確率と同じで
5/16

Aが3枚の時は、1枚の時の裏返しです。

まとめると、(勝-分-負)は
Aが1枚の時 (1/16-1/4-11/16)
Aが2枚の時 (5/16-3/8-5/16)
Aが3枚の時 (11/16-1/4-1/16)
となります。

(1)2回で終わるためには、Aの連勝かBの連勝か、ですね。
2枚で勝って3枚で勝つ、55/256
2枚で負けて1枚で負ける、55/256
合わせて55/128です。

(2)0枚で終わるためには
負負の他に
負分負と分負負があります。

1枚で終わるためには
勝負負 負勝負
負分分 分負分 分分負

2枚で終わるためには
分分分の他に
勝分負 勝負分 分勝負 分負勝 負勝分 負分勝があります。

3枚と4枚は、1枚と0枚の裏返しです。