「コインを n 回投げて、表が出る回数」の分散？

質問

ものすごく基本的な質問だとは思うのですが・・・

コインを n 回投げて、表が出る回数の分散って、きれいな解があるのでしょうか？コインの表裏は確率１／２だとします。

ΣnCi (1/2)^i (1/2)^(n-i)

これが回数の期待値の式ですよね。
この先がよく分からなくて・・

回答No.2

adinat · ベストアンサー

こういう問題は『分けて考える』というテクニックを知っているといつでもものすごく簡単に解けます。逆にいうと、このテクニックを使わないと二項定理のいろいろな公式を多用する羽目になり、慣れていないとこれ以上簡単にできるのか？ということにもなります。

k回目に投げたコイン（1≦k≦n）が表が出たとき1、裏が出たとき0を取る確率変数をX_iとおきます。X_iは確率1/2で0と1が出ます。このときn回投げた時、表が出る回数というのはX_1+…+X_nとなります。知りたいのはこの分散なのですが、当然X_iたちは独立だから、分散はこれらの和になります。全部同分布なので、

V(X_1+…+X_n)=nV(X_1)

です。ところで、X_1は確率1/2で0と1が出る確率変数です。したがって、E(X_1)=1/2、E(X_1^2)=1/2なのだから、V(X_1)=1/2-(1/2)^2=1/4です。結局答えはn/4ということになります。

実はこれは二項分布です。Bi(n,1/2)とかける分布です。平均はn/2であり、分散は(1/2)(1-1/2)n=n/4と公式で求めることも出来ます。

なお二項分布とは、表が出る確率がpのコインをn回投げたとき表の出る回数のことで、平均はnp、分散はnp(1-p)で与えられます。興味があれば同じように証明できますので、やってみられてください。

回答No.3

age_momo

本当は#2さんの言われている事を理解される方がいいんですが、
このアプローチでの確認をしたいということであれば、まず、

＞ΣnCi (1/2)^i (1/2)^(n-i)
＞これが回数の期待値の式ですよね。

違います。期待値の式は

E(X)=Σi*nCi (1/2)^i (1/2)^(n-i)・・・(1)

です。iを掛けるのを忘れていますね。質問者さんの式は=(1/2+1/2)^n=1となりますね。
後は参考URLを読んでください。

参考URL：

http://www.fiberbit.net/user/kakuritsu/nikou2.html

お礼

よくわかりました。ありがとうございます！

回答No.1

noname#17299

こんなことが分かっているそうです。
参考になれば幸いです。

n枚のコインを投げた時に、表がm枚出る確率は、二項分布と呼ばれる確率分布になります。

そして、表がm枚だけ出る確率をP(m)と書くと、

P(m)=nCm・(1/2)^m・(1/2)^n

となります。

CはCombination、nは投げる回数です。