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コイン投げ:2n枚投げてn枚表の確率は?
初質問です。分かりにくいところがあるかもしれませんが、ご容赦頂ければ幸いです。 コイン投げについて、 表裏それぞれ2分の1の確率で出るものとすれば、 2枚のコインを投げて表と裏がそれぞれ1枚ずつになる確率は1/2 4枚のコインを投げて表と裏がそれぞれ2枚ずつになる確率は3/8 6枚のコインを投げて表と裏がそれぞれ3枚ずつになる確率は5/16 ・・・このように、 2n枚のコインを投げて表と裏がそれぞれn枚ずつになる確率は、 c(2n,n)/(2^n) (2n個の中からn個選ぶ組み合わせ)÷(2の2nべき乗) で計算できます。 もし、このコインの枚数をどんどん増やしていった場合、つまり n→∞の時、 この確率はゼロに収束するのでしょうか? 色々と数式をいじってみたのですが、どうも上手いこと証明が出来ません。 分かる方いらっしゃいましたら是非ご回答ください。 余談:6面サイコロ6n個振って1の目がn回出る確率や、確率1/mのくじ引きをnm回行ってn回当たりが出る確率~など更に一般化するとどうなるか分かると更に嬉しいです。
- siba1729
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- MagicianKuma
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0に収束します。証明は難しいですが、スターリングの公式を使ってよしとするなら。 c(2n,n)=(2n)!/(n!n!)≒√(4πn)(2n/e)^2n/(√(2πn)(n/e)^n)^2=(2n/e)^2n/(n/e)^2n)/√(2πn)=2^2n/√2πn 確率P(X=n)=c(2n,n)p^n(1-p)^n=c(2n,n)/2^2n≒1/√2πn lim[n→∞]1/√2πn=0 どうでしょうか?
- cockpit
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c(2n,n)/(2^2n) =2n(2n-1)…(2n-(n-1))/n(n-1)…( n-(n-1) )/4^n =Π(k=0;n-1) ((2n-k)/n-k/4) 対数をとって logc(2n,n)/(2^2n) =-nlog4+Σ(k=0;n-1)log( (2-k/n)/(1-k/n) ) 区分求積法を使って求めます。
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