コイン投げ表が出る確率について

質問

コインを投げて「表」が出る期待回数を縦軸に、投げた回数を横軸にとってグラフを書いたとするとどのようになるのでしょうか？
コインを投げて表の出る確率は２分の１です。
単純な問題に見えて解けそうなのですが根拠として計算式まで要求されるとわからなくなります。最終的には原点を通り傾き２分の１の直線に収束というか近づくような気がしますが…自信ないです。

分かる人がいれば教えてください。よろしくお願いします。

回答No.4

age_momo

>最終的には原点を通り傾き２分の１の直線に収束というか近づくような気がします

確率を計算するなら、全ては確率なんです。
可能性だけなら何百回投げても表が0回の『可能性』があり、
傾きは0から1までの可能性はどこまでもあって1/2に近づく
ことはありません。近づくという感覚には確率を踏まえた
判断があるのです。なので、どの確率範囲で判断するかを
まず決める必要があります。

何が言いたいかというと100回試行して表が出ない確率は
(1/2)^100=8*10^(-31)
こんなのは起こるとは考えないということですよね。
ということは『考える』範囲を決めないと何も決められない
ということです。

とりあえず、99.9%の確率で入る範囲としておきます。
(普通の確率・統計ではちょっと大きすぎますが)
今、n回コインを投げたときに表が出る回数は
p=1/2の二項分布に従います。期待値はn/2,分散は
n/4となります。nが十分大きいと二項分布は正規分布に
近似できますから、
N(n/2,n/4)
に近似します。とすると99.9%の確率で出る回数は
n/2±1.645√n
直線の傾きは
1/2±1.645√(1/n)
となります。nが大きくなればどんどん、1/2に近づきます。
1000回試行すれば99.9%の確率で傾きは0.448から0.552の
範囲に入ります。

お礼

詳しい回答ありがとうございます。
回数を整数値しか取らないと考えるかどうかの解釈によって考え方が違ってくるような気がします。他の人の回答とともに参考にさしてもらいます。

回答No.3

rnakamra

投げた回数の半分が表の枚数の期待値になります。
なお、これは収束ではなく、何枚の場合であろうと必ずそうなります。

一番簡単な説明としては、
表の枚数の期待値=裏の枚数の期待値
(直感的にも判ると思いますが、期待値を計算する式が全く同じになるため等しくなります。)
それと、
表の枚数の期待値 + 裏の枚数の期待値 = 投げた回数
(総回数N,表の枚数がk枚の確率P(k)とすると
表の枚数の期待値=Σ(k:0～N)k*P(k)
裏の枚数の期待値=Σ(k:0～N)(N-k)*P(k)
となります。
これを足すと
Σ(k:0～N)N*P(k)=N*Σ(k:0～N)P(k)=N*1=N
)
以上のことから、表の枚数の期待値 = 投げた回数/2
となります。

補足：
期待値ではなく実際に表が出た回数を縦軸にとるとその回数は期待値からずれが出ます。収束はしません。
ただ、期待値との比は"1"に近づいていきます。
"大数の法則"で検索してみてください。

回答No.2

mojitto

直線ということはありえないのでは？
だって横軸は回数ですよね？
例えば「1.74回投げる」などというのは存在しませんよね？

そして
>コインを投げて表の出る確率は２分の１です
なら、何回投げようが
>コインを投げて表の出る確率は２分の１です
です。

ですから収束も近づきもせず
>原点を通り傾き２分の１の直線
の上に、点が並びます。

ただし、実際に試行してみて、縦軸を「期待回数」ではなく、「実際に表の出た回数」をとれば、
>最終的には原点を通り傾き２分の１の直線に収束というか近づく
でしょうね。

回答No.1

owata-www

y=x/2
となるだけかと