6-12 助けてください 高校数学の確率の問題です

質問

1回の試行で事象Aの起こる確率はpであってAが起これば2点,起こらなければ1点の得点が与えられる、この試行を繰り返し行うとき、得点が途中で丁度n点となる確立をp[n]とする
ただし、p[0]=1とする
(1)p[n](n>=2)をp[n-1],p[n-2],pで表せ、つぎにp[n]をn,pの式で表せ
(2)得点の合計が途中でn点とならないで2n点となる確率を求めよ

解説(1)最後に1点か2点が加わってn点になるがこの場合分けは排反で、しかもn点になるすべての場合を尽くしているから
p[n]=p[n-1](1-p)+p[n-2]p (n>=2)
ここで方程式x^2=(1-p)x+pの解が1,-pであることに着目して、この漸化式を変形すると

p[n]-p[n-1]=-p(p[n-1]-p[n-2])
p[n]+p・p[n-1]=p[n-1]+p・p[n-2]

よってp[n]-p[n-1]=(-p)^(n-1)(p[1]-p[0])
p[n]-p・p[n-1]=p[1]+p・p[0]

p[0]=1,p[1]=1-pによりp[n]-p[n-1]=(-p)^n
p[n]+p・p[n-1]=1

この2式からp[n]を消去するとp[n-1]={1-(-p)^n}/(1+p)よって
p[n]={1-(-p)^(n+1)}/(1+p) (n>=1であるが、n=0のときもOK)

(2)n点にならないなら、必ずn-1点になるから題意の事象はn-1点になり、つぎにAが起こりn+1点になって、その後の合計がn-1点になるといいかえることができるから、求める確率は

p[n-1]・p・p[n-1]=p[{1-(-p)^n}/(1+p)]^2

研究　p=1/2のとき、p[n]≒2/3となりますが、このとき平均的には1点と2点が交互に加点されると考えられ右図では●●○の繰り返しと考えられることから納得のいく結論です

(2)のp[n-1]・p・p[n-1]の所なのですがn+1点から2n点までをp[n-1]を掛けるのが分からないですp[n-1]・pまでは分かるのですが

研究の平均的には1点と2点が交互に加点されると考えられ右図では●●○の繰り返しと考えられる　とあるのですが、どういう事を意味しているのか分からないです

是非これらの疑問点の解決のための解説を宜しくお願いします

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

n-1点になってから「2点だけ加える」確率はpで理解できるのに、
n+1点から「n-1点だけ加える」確率はp[n-1]では理解できない？

掛け合わされてる3つの項は、「さらに◯点だけ加える」という点で共通してますよ。(￣^￣)ゞ

お礼

御返答有難うございます

補足

>n+1点から「n-1点だけ加える」確率はp[n-1]では理解できない？
だってpは1回の試行でAが起こる確率ですから掛けても問題ないですが、p[n-1]の意味は
得点が途中で丁度n-1点となる確率ですよ　これって最初から始めて途中でn-1点になる確率って意味じゃないんですか？

研究の平均的には1点と2点が交互に加点されると考えられ右図では●●○の繰り返しと考えられる　とあるのですが、どういう事を意味しているのか分からないです
この部分も宜しくお願いします

回答No.3

naniwacchi

>>n+1点から「n-1点だけ加える」確率はp[n-1]では理解できない？
>だってpは1回の試行でAが起こる確率ですから掛けても問題ないですが、p[n-1]の意味は
>得点が途中で丁度n-1点となる確率ですよ
>これって最初から始めて途中でn-1点になる確率って意味じゃないんですか？

「最初から始めて」を「0点から始めて」と言い換えれば・・・？

>研究の平均的には1点と2点が交互に加点されると考えられ右図では●●○の繰り返しと考えられる
>とあるのですが、どういう事を意味しているのか分からないです
「右図」とは何ですか？
研究の前に、問題を理解するほうが先ですね。

お礼

御返答有難うございます

補足

>「最初から始めて」を「0点から始めて」と言い換えれば・・・？
同じ事ではないのですか？

>「右図」とは何ですか？
すいません、図を貼ってませんでしたね　図は　●●○●●○●●○・・・と●●と○が交互に並んでいる物です

回答No.1

naniwacchi

2n-(n+1)=n-1
ただそれだけのこと。

お礼

御返答有難うございます

補足

そうなんですが、n-1点まで行って、そこから2点入ってn+1点、そこまでの確率がp[n-1]・pなのは納得出来るのですが、そこから2n点まで行くのにp[n-1]を掛けるのが良く分からないです、p[n-1]って最初から初めてn-1点になる確率ですよね？途中のn+1点から2n点になる場合の確率としてp[n-1]を掛けるのはおかしい気がするんです

研究の平均的には1点と2点が交互に加点されると考えられ右図では●●○の繰り返しと考えられる　とあるのですが、どういう事を意味しているのか分からないです

この部分も宜しくお願いします