確率の漸化式の問題です

質問

円周上に、右回りも順で３点Ａ，Ｂ，Ｃがあり、円周にそって、これらの点の上を右回りに進むものとする。１つのサイコロを投げて、偶数の目がでれば、その数だけ進み、奇数ならば１つ進む試行を繰り返す。初めＡにいて、ｎ回目の試行の後でＡにいる確率をＰ_n、Ｂにいる確率をＱ_n、Ｃにいる確率を
Ｒ_nとして次の問に答えよ。
（１）Ｐ_nをR_n-1(n>=2)で表せ。
（２）Ｐ_3nを求めよ。

回答No.2

ereserve67 · ベストアンサー

ANo.1です．Q_1=P(奇数または4が出る)=1/2+1/6=2/3でした．再回答します．

(1)一般にP_n+Q_n+R_n=1(いつもA,B,Cいずれかにいる）に注意して

P_n=P_{n-1}P(6がでる)+Q_{n-1}P(2がでる)+R_{n-1}P(奇数か4がでる)
=(P_{n-1}+Q_{n-1})(1/6)+R_{n-1}(1/2+1/6)
=(1-R_{n-1})(1/6)+R_{n-1}(4/6)

(1)P_n=1/6+(1/2)R_{n-1}(n≧2)

同様にして

(2)Q_n=1/6+(1/2)P_{n-1}(n≧2)

(3)R_n=1/6+(1/2)Q_{n-1}(n≧2)

よって

P_{3(n+1)}=1/6+(1/2)R_{3n+2}

=1/6+(1/2){1/6+(1/2)Q_{3n+1}}=1/6+(1/12)+(1/4)Q_{3n+1}

=1/6+(1/12)+(1/4){1/6+(1/2)P_{3n}

P_{3(n+1)}=7/24+(1/8)P_{3n}(n≧1)
α=7/24+(1/8)α(α=1/3)

P_{3(n+1)}-1/3=(1/8){P_{3n}-1/3}

P_3=1/6+(1/2)R_2=1/6+(1/2){1/6+(1/2)Q_1}

=1/6+(1/2){1/6+(1/2)(2/3)}

=1/6+(1/2)(1/6)(1+2)

=1/6+1/4=5/12

∴P_{3n}-1/3=(1/8)^{n-1}(5/12-1/3)

=(1/8)^{n-1}(1/12)

P_{3n}=1/3+(1/12)(1/8)^{n-1} (n=1,2,・・・)

回答No.1

ereserve67

(1)一般にP_n+Q_n+R_n=1(いつもA,B,Cいずれかにいる）に注意して

P_n=P_{n-1}P(6がでる)+Q_{n-1}P(2がでる)+R_{n-1}P(奇数か4がでる)
=(P_{n-1}+Q_{n-1})(1/6)+R_{n-1}(1/2+1/6)
=(1-R_{n-1})(1/6)+R_{n-1}(4/6)

(1)P_n=1/6+(1/2)R_{n-1}(n≧2)

同様にして

(2)Q_n=1/6+(1/2)P_{n-1}(n≧2)

(3)R_n=1/6+(1/2)Q_{n-1}(n≧2)

よって

P_{3(n+1)}=1/6+(1/2)R_{3n+2}

=1/6+(1/2){1/6+(1/2)Q_{3n+1}}=1/6+(1/12)+(1/4)Q_{3n+1}

=1/6+(1/12)+(1/4){1/6+(1/2)P_{3n}

P_{3(n+1)}=7/24+(1/8)P_{3n}(n≧1)
α=7/24+(1/8)α(α=1/3)

P_{3(n+1)}-1/3=(1/8){P_{3n}-1/3}

P_3=1/6+(1/2)R_2=1/6+(1/2){1/6+(1/2)Q_1}

=1/6+(1/2){1/6+(1/2)(1/6)}

=1/6+(1/2)(1/6){1+(1/2)}

=(1/6)(1+1/2+1/4)=7/24

∴P_{3n}-1/3=(1/8)^{n-1}(7/24-1/3)

=-(1/8)^n8(1/24)=-(1/3)(1/8)^n

P_{3n}=(1/3){1-(1/8)^n}(n=1,2,・・・)