高校数学です。難しくて困っています教えて下さい。

質問

問題

A, B 2人が次のようなゲームを行う。第三者（A, B 以外の中立的立場の者）がさいころを投げ、１の目が出たらAだけに３点 、３の目が出たらAだけに２点 を与え、２か４の目が出たらBだけに２点 を与える。その他の目が出たら、AにもBにも点を与えない。この試行を何回かくり返し、先に得点の合計が４点以上になった方を勝ちとする。
　１回目の試行でBが勝つ確率をp１とする。n≧２のとき、n－１回目までの試行では勝負はつかず、n回目の試行でBが勝つ確率をpnとする。 次の問いに答えよ。

(1) p1, p2, p3, p4 を求めよ。また一般項pnを求めよ。

(2) qn=9p(n+2)-6p(n+1)+pn とするとき、Σ(n=1～k)qn を求めよ。またΣ(n=1～k)pn を求めよ。

(3) a=Σ(n=1～∞)pn とするときlim(k～∞)1/k log |Σ(n=1～k)pn -a| を求めよ。

　　ただし、必要ならば lim(k～∞)k^2/3^k=0 lim(x～∞)logx/x=0 を用いてよい。

　　補足 (2)の文中のp(n+2), p(n+1) は確率を意味しています。p×(n+2)ということではありません。

回答No.1

yyssaa

とりあえず(1)について回答します。
(1)１回では勝負はつかないので、P１＝０
Pｎは、ｎ－１回目終了時点で、Bの得点が２、Aの得点が０か２か３で、、
かつｎ回目でBに得点が入る確率です。
ｎ－１個の目の並び＝６^(ｎー１)通り。
２か４の目が１個で１、３の目が０個の並び＝２×(n-1)C1×２^(ｎ－２)
＝(ｎ－１)２^(ｎ－１)通り・・・(ア)
２か４の目が１個で、１の目が１個で３の目が０個の並び
＝２×(n-1)C2×２^(ｎ－３)×２
＝(１/２)(ｎ－１)(ｎ－２)２^(ｎ－１)通り・・・(イ)
２か４の目が１個で、３の目が１個で１の目が０個の並び
＝２×(n-1)C2×２^(ｎ－３)×２
＝(１/２)(ｎ－１)(ｎ－２)２^(ｎ－１)通り・・・(ウ)
以上から、ｎ－１回目終了時点で、Bの得点が２、Aの得点が０か２か３
となる確率は((ア)＋(イ)＋(ウ))/６^(ｎ-1)
＝((ｎ－１)２^(ｎ－１)＋(ｎ－１)(ｎ－２)２^(ｎ－１))/６^(ｎ-1)
＝((ｎ－１)(１＋ｎ－２)２^(ｎ－１))/６^(ｎ-1)
＝(ｎ－１)^２×２^(ｎ－１)/６^(ｎー１)＝(ｎ－１)^２×(１/３)^(ｎ－１)
ｎ回目でBに得点が入る確率は１/３ですから、
Pｎ＝(ｎ－１)^２×(１/３)^(ｎ－１)×１/３＝(ｎ－１)^２×(１/３)^ｎ
となります。
よって答えはP１＝０、P２＝１/９、P３＝４/２７、P４＝１/９
　　　　　　Pｎ＝(ｎ－１)^２×(１/３)^ｎ
となります。

補足

どうもありがとうございます。
(1)はすべて正解です。
これだけやってもらうだけでもたいへん助かります。