6-18 至急是非宜しくです、 高校数学の確率です

質問

xy平面上に点P[0],P[1],P[2],....P[n]を次のように決める　まずP[0]は(0,0)とし一般にP[k](k=0,1,2,,,,n-1)が(a,b)であるとき、P[k+1]は(a+1,b)または(a+1,b+1)であり、いずれであるかは等確率(=1/2ずつ)とする　折れ線P[0]P[1]P[2],,,P[n]と2つの直線y=0,x=nが囲む図形の面積の期待値をE[n]としてE[5]を求めよ

解説　E[5]といっても平凡に考えれば2^5通りについて調べなければなりません　ところが、次のように一般のE[n]を求める巧妙な解法があります

P[1]が(1,0)か(1,1)かで場合を分けてE[n]をE[n-1]で表してみると

E[n]=1/2・E[n-1]+1/2・(E[n-1]+n-1/2)=E[n-1]+1/2・(n-1/2)

よってE[n]-n^2/4=E[n-1]-(n-1)^2/4(E[1]-1/4=0)

したがってE[n]=n^2/4 よってE[5]=25/4

注　たとえば、サイコロで出る目の数の期待値は
1/2・1/3・(1+3+5)+1/2・1/3・(2+4+6)というように奇遇に分けて計算することができますが上で漸化式を立てるときも、これと同じような事をしているわけで決して''和の期待値は期待値の和''などの高級な知識を使っているわけでは有りません　なお、上の結論は

P[k](a,b)が平均的にはP[k+1](a+1,b+1/2)となることを意味しており納得がいきますね

以下疑問点です

解説のE[5]といっても平凡に考えると2^5通り調べなければならない　の所なのですがE[5]を求める場合何故2^5通り調べることになるのですか？

E[n]をE[n-1]で表すときにE[n]=1/2・E[n-1]+1/2・(E[n-1]+n-1/2)で求めているのですが
何でこの式になるのか分かりません
そしてE[n]=1/2・E[n-1]+1/2・(E[n-1]+n-1/2)この式をE[n]-n^2/4=E[n-1]-(n-1)^2/4
にどうやって変形してのか分からないです

(=E[1]-1/4=0)の所なのですがE[1]って何で1/4になるんですか？

後は注のサイコロの出る目の期待値が1/2・1/3・(1+3+5)+1/2・1/3・(2+4+6)になるのが分からないです

なお、上の結論はP[k](a,b)が平均的にはP[k+1](a+1,b+1/2)となることを意味しており
の所なのですが、何故そのような事が言えるのか分からないです

回答No.2

misocha · ベストアンサー

質問者さんは恐らく、"期待値は期待値であって、それ以上操作してはいけない"風に捉えているのだと思います。
あるいは"サイコロだとか図形だとか、期待値の元になった物とはもう関係ない数値"だと思っているのかもしれません。
ただ、実際は元になった物、確率とそれに付随する数があってこその期待値なのです。
(ただし、ある程度分かった気になるのも大切なことです。)

まず、E[n]とは何かを考えて見ます。
質問者さんはE[n]を恐らく、"出てきた面積全体"の期待値として考えていると思います。
つまり、{1/2,3/2,2,...}という数字全体を、それぞれが出る確率で掛け合わせた後足しているはずです。
この場合確かに2^5通りにはなりません。

しかし次のように考えることが出来ます:

A[n]={折れ線P[0],...,P[n] と y=0 と x=n で囲まれた図形全体}
(つまり図形の集まり)
E[n]=A[n]の持ってる図形の面積*その図形が出現する確率 の総和
(こちらは数)

つまり囲まれた図形全体を取ってきて、それぞれの面積を計算し、確率との積を取り、足し合わせているのです。
(より厳密にやるのなら、A[n]を点列P[0],...,P[n]全体の集合、E[n]を、囲まれた図形の面積での期待値で与えるべきですが、書きやすいのでA[n]は図形の集まりとします)

面積全体を考え、それぞれの確率との積を取るのは、コイントスで考えると少し奇妙なことになります。
事象と確率を直接掛け算しているわけで、{表}*1/2とかになってしまうわけです(笑
普通は{表}に1とか値をつけて、1/2を掛けますよね?
そう考えると図形全体で考え、後から面積という値をつけた方が自然だとわかります。

…ただ確かにE[n]を図形のように扱った自分の解説はまずいかもしれませんね。

>5回操作したE[5]では2^5通りの図形がある。
についてですが、面積ではなく図形…A[n]に関しては了解できることと思います。

>E[n]においてP[1]=(1,0)であった場合…
A[n]の図形というのはP[1]=(1,0)か、P[1]=(1,1)かで二通りに分かれます。
それで、A[n-1]の図形は平行移動したり台形を足したりしてA[n]の図形と一致したので…
P[1]=(1,0)の条件の下での確率はA[n-1]と同じ、面積も同じ
P[1]=(1,1)の条件の下での確率はA[n-1]と同じ、面積は台形分増える
ということになります。
つまり、
(P[1]=(1,0)の条件の下での期待値)はE[n-1]と
(P[1]=(1,1)の条件の下での期待値)はE[n-1]+台形の面積と
等しくなります。

なお条件の下での確率は同じ、なのは、各要素の確率は等しいこと(高校での確率は基本そうでしょう。グラ賽が出てくる問題なんてありません)と、それぞれ2^(n-1)通りであることから直ちに分かります。

>1/2*1/2+1/2*0=1/4
YES

>実際1/3というのは、(1/6)/(1/2)と一致します。
>(奇数の確率)*(1*(1の確率)/(奇数の確率)+...
サイコロを振ったとき、出目は奇数でした。この条件の下で出目が1である確率は?
という問いは自然に1/3と答えることと思います。
(間違っても1/6ではありません。条件のせいで出目は1か3か5しかないので1/6とすると全体の確率が1/2になってしまいます)
これを分かりやすく言えば、

出目は奇数といっている。だから全体の場合の数は出目1か3か5で3通りだ
求める場合の数は出目1の1通りだ
だから確率は1/3だ

ということになるのですが、これを定義した式が
(条件AもBも起きる確率)/(条件Aが起きる確率)
となります。
((条件AもBも起きる場合の数)/(全体))/((条件Aが起きる場合の数)/(全体))
あるいは、
(条件AもBも起きる場合の数)/(条件Aが起きる場合の数)
と言っても良いでしょう。

ただ実際に使う分には1/3*(1+3+5)は奇数だった場合の期待値になってそう。程度の認識で、直感的にやってもいいと思います。

この式によって、
E[n]=
(P[1]=(1,0)の確率)*(P[1]=(1,0)の条件の下での期待値)+(P[1]=(1,1)の確率)*(P[1]=(1,0)の条件の下での期待値)
となることが分かり、(P[1]=(1,0)の条件の下での期待値)は(A[n-1]の面積の期待値)となるとさっき示したので、
(P[1]=(1,0)の確率)*(A[n-1]の面積の期待値)+(P[1]=(1,1)の確率)*(A[n-1]と台形の面積の期待値)
となることが分かります。

ただもう一度言いますが直感的に
"P[1]が(1,0)か(1,1)かで場合を分けてE[n]をE[n-1]で表"
せるとして大丈夫だと思います。

>P[k+1]は間を取れば(a+1,b+1/2)になって、...
コイントスで例えれば、ここで言ってることはこうなります:
元は0として、表が出たら+1 裏が出たら足さない という操作をn回行えば、期待値はn/2となるが、
一回投げたとき平均+1/2だから恐らく期待値n/2になりそうだ。そして事実そうだ。
実際のコインにも、この問題のP[n]にも、+1と+0の間なんて本来存在しないのでわりと暴論ではありますが、経験則ではそうなりそうな気がしますよね。
理解できないなら無視しても全く問題ないでしょう。

お礼

御返答有難うございます

補足

A[n]というのは全ての折れ線全体と言う事ですね　ただA[n]には面積は含まれて居ないですよね？

>についてですが、面積ではなく図形…A[n]に関しては了解できることと思います。
はい、できる図形は全部で2^5通りあると思いますがE[n]は何で2^5になるんですか？

>A[n]の図形というのはP[1]=(1,0)か、P[1]=(1,1)かで二通りに分かれます。
>それで、A[n-1]の図形は平行移動したり台形を足したりしてA[n]の図形と一致したので…
>P[1]=(1,0)の条件の下での確率はA[n-1]と同じ、面積も同じ
>P[1]=(1,1)の条件の下での確率はA[n-1]と同じ、面積は台形分増える
>ということになります。
>つまり、
>(P[1]=(1,0)の条件の下での期待値)はE[n-1]と
>(P[1]=(1,1)の条件の下での期待値)はE[n-1]+台形の面積と
>等しくなります。
この説明が良く分からないです、A[n]の図形というのはP[1]=(1,0)か、P[1]=(1,1)かで二通りに分かれます　ここまでは分かるのですが

A[n-1]の図形は平行移動したり台形を足したりしてA[n]の図形と一致したので　これが何で平行移動したり台形を足してA[n]と一致したと分かるのですか？

P[1]=(1,0)の条件の下での確率はA[n-1]と同じ、面積も同じ
P[1]=(1,1)の条件の下での確率はA[n-1]と同じ、面積は台形分増える

これも何でそう言えるのか分からないです

(P[1]=(1,0)の条件の下での期待値)はE[n-1]と
(P[1]=(1,1)の条件の下での期待値)はE[n-1]+台形の面積と

これも何故そのように言えるのか分からないです

>サイコロを振ったとき、出目は奇数でした。この条件の下で出目が1である確率は?
>という問いは自然に1/3と答えることと思います。
ただサイコロを振ったというより奇数の目が出たとしてそれが何か（１．３．５のどれか)って事で奇数の目が出る確率が1/2で1、３，５の目が出る確率は1/6という事で1/6/1/2=1/3という事だったんですね

回答No.1

misocha

誤解無く伝えるために括弧を多めに取って書いていきます。

[疑問点1]
2^5通り実際書き出すのが最も理解しやすいでしょう。

(P[0],P[1],P[2],P[3],P[4],P[5])=
((0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(4,0)(5,0)),
((0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(4,0)(5,1)),
((0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(4,1)(5,1)),
((0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(4,1)(5,2)),
((0,0),(1,0),(2,0),(3,1),(4,1)(5,1)),
((0,0),(1,0),(2,0),(3,1),(4,1)(5,2)),
((0,0),(1,0),(2,0),(3,1),(4,2)(5,2)),...

と実際書き出すと大変なのでここまでにします。させてください。
つまりP[k+1]は(a+1,b)または(a+1,b+1)の2通りなので、5回操作したE[5]では2^5通りの図形がある。
全部調べるという最も愚かな手段でも答えは出るよと言い換えても良いです。
(P[0]は常に(0,0)であることには注意してください)

[疑問点2]
図形は平行移動させても面積は変わらない事を考えればすぐに分かります。
E[n]においてP[1]=(1,0)であった場合、この図形はE[n-1]をx軸方向に1移動させた物と等しくなります。
P[1]=(1,1)であった場合、この図形はE[n-1]をx,y共に1移動させたものに、面積n-(1/2)の台形を下にくっつけたものと等しくなります。
故に、

E[n]=1/2*E[n-1]+1/2*(E[n-1]+(n-(1/2)))

となるわけです。
(別の言い方をすれば、P[1]より右上の部分を見ればE[n-1]となっていると言えます)

[疑問点3]
何ででしょう?恥ずかしながら自分にも分かりません。

E[n]=E[n-1]+(1/2)*n-(1/4)

と変形して、階差数列だからa_n=(1/2)*n-(1/4)として

E[n]=E[1]+Σa_n
=E[1]+(1/2)*(1/2*n*(n+1))-1/2-(1/4)*n+1/4
=(n^2)/4+E[1]-1/4

としても同じ事ですが、何か別の階差数列の解放があるのかも知れませんね。

[疑問点4]
(i).

E[1]=E[0]+1/2-1/4

一点の面積は0なので

E[0]=0

よってE[1]=1/4

(ii).
P[1]=(1,1)なら面積は1/2
P[1]=(1,0)なら面積は0
よって期待値E[1]は

1/2*1/2+1/2*0=1/4

お好きなほうをどうぞ。
((i)はかなり怪しいので減点される可能性大。E[0]はy=0,x=0,(0,0)が囲む図形の面積となるが、そんなもの存在しないため)

[疑問点5]
1/2*1/3*(1+3+5)+1/2*1/3*(2+4+6)についてですが
より正確には次のようになります:

1/2*(1*1/3+3*1/3+5*1/3)+1/2*(2*1/3+4*1/3+6*1/3)

期待値は、さいころの出た目に、その出目が出る確率を掛けて、それを足し合わせたものなので、
サイコロが奇数だった時の期待値は、1*1/3+3*1/3+5*1/3で算出されるわけです。

これでさいころの出目の期待値が求められることを理解するには、条件付確率が何か…奇数だったときに出目が1の確立は何故1/3なのかを理解する必要があります。
条件Aの元で、条件Bが起きる確率は次のように定義されています:

(条件AもBも起きる確率)/(条件Aが起きる確率)

実際1/3というのは、(1/6)/(1/2)と一致します。
これを考えると、上の式はこのようになります:

(奇数の確率)*(1*(1の確率)/(奇数の確率)+3*(3の確率)/(奇数の確率)+5*(5の確率)/(奇数の確率))
+(偶数の確率)*(2*(2の確率)/(偶数の確率)+4*(4の確率)/(偶数の確率)+6*(6の確率)/(偶数の確率))

式変形してやれば、ちゃんと期待値を求める式と一致することが分かります。

[疑問点6]
"P[k](a,b)が平均的にはP[k+1](a+1,b+1/2)となることを意味しており"
についてですが、もちろんこの結果からP[k+1]の平均?が(a+1,b+1/2)となるかは言えません。
逆にP[k+1]の平均とやらが(a+1,b+1/2)だからE[n]は底辺n,高さn/2の三角形とみなせるわけもありません。
ここで言いたいことは、P[k+1]は間を取れば(a+1,b+1/2)になって、それを全て取ればP[0],...,P[n]はy=(1/2)*xの直線になり、直感的にはおそらく面積の期待値は底辺n,高さn/2の三角形の面積となりそうだ。そして実際にそうだった。ということです。
出てきた解に対して、図形的な(三角形と等しくなったという)意味を与えたといっても良いでしょう。

お礼

御返答有難うございます

補足

こんなに丁寧に解答していただき誠に有難うございます、以下読ませていただいて疑問に思って点を書かせていただきます

>5回操作したE[5]では2^5通りの図形がある。
E[5]と言うのは折れ線P[0]P[1]P[2]P[3]P[4]P[5]と2つの直線y=0,x=5が囲む図形の面積の期待値ですよね　それが何で2^5通りとなるのですか？通りと言うのもおかしい気がします

>E[n]においてP[1]=(1,0)であった場合、この図形はE[n-1]をx軸方向に1移動させた物と
>等しくなります。
何故P[1]=(1,0)であった場合E[n-1]をx軸方向に1移動させた物と
等しくなるのですか？図形とあるのですがE[n]は期待値だからE[n]の事ではないですよね
折れ線の事ですか？

>P[1]=(1,1)であった場合、この図形はE[n-1]をx,y共に1移動させたものに、面積n-(1/2)
>の台形を下にくっつけたものと等しくなります
これもP[1]=(1,1)であった場合の折れ線がE[n-1]をx,y共に1移動させたものに、面積n-(1/2)の台形を下にくっつけたものと何故等しくなるのか分からないです

>1/2*1/2+1/2*0=1/4
この計算は(0,0)か(1,0)へ行くのが1/2、(0,0)から(1,1)へ行くのが1/2なので
1/2*1/2+1/2*0=1/4という事ですよね？

>実際1/3というのは、(1/6)/(1/2)と一致します。
この式は何で出てきたのですか？サイコロの目が出るだけなので条件とか必要ないのではないですか？

>(奇数の確率)*(1*(1の確率)/(奇数の確率)+3*(3の確率)/(奇数の確率)+5*(5の確率)/(奇>数の確率))
>+(偶数の確率)*(2*(2の確率)/(偶数の確率)+4*(4の確率)/(偶数の確率)+6*(6の確
>率)/(偶数の確率))
この式もサイコロの奇数の目が1,3,5が出る確率は全部1/6だから1×1/6+3×1/6+5×1/6じゃ無いんですか？この式も何で出てきたのか分からないです

>P[k+1]は間を取れば(a+1,b+1/2)になって、それを全て取ればP[0],...,P[n]はy=
>(1/2)*xの直線になり、直感的にはおそらく面積の期待値は底辺n,高さn/2の三角形の面
>積となりそうだ。そして実際にそうだった。ということです。
間を取るというのが良く分からないですP[k+1]というのは折れ線でk+1番目にある点の事ですよね　平均してどうなるとかが分からないです

以上の疑問点を是非宜しくお願いします