6-20 高校数学の確率

質問

ある電話局管内の電話の通話時間(分)は確率変数Xで表され、その確率密度関数f(x)は

f(x)=ae^(-x/3) (0<=x<180)

0 (x>=180)

である　一方通話料は3(n-1)<=x<3n(nは自然数)の通話時間に対して10n円である

(1)定数aの値を求めよ
(2)1回の通話時間の平均値を求めよ
(3)1回の通話料の平均値を求めよ

解説　(1)P(0<=X<180)=∫[0→180]ae^(-x/3)dx=a[-3e^(x/3)](0→180)

=-3a(e^(-60)-1)これが１であるからa=1/3(1-e^(-60))

(2) E(X)=∫[0→180]xae^(-x/3)dx=a[x(-3e^(-x/3)](0→180)+3∫[0→180]ae^(-x/3)dx=-540ae^(-60)+3・1
=3(1-61e^(-60))/(1-e^(-60)) (≒3)

(3)通話料が10n円である確率は∫[3(n-1)→3n]ae^(-x/3)dx=-3a(e^(-n)-e^-(n-1)

よって通話料の平均値は
Σ[n=1→60]10n・3a(e^(-n+1)-e^(-n))

=30a(Σ[n=0→59](n+1)e^(-n)-Σ[n=1→60]ne^(-n))

=30a(1-60e^(-60)+Σ[n=1→59]e^(-n))

=・・=10e/(e-1)-600/(e^(60)-1) (≒16)

(2)と(3)で同じ平均値を求めるのに(3)でΣを使って求めているのがわかりません

(2)を求める時に、期待値は確率変数×その確率変数が起きる確率で求めると思うのですが

∫[0→180]ae^(x/3)dxは通話時間が0分から180分となる確立ですよね、これにxを掛けた物が通話時間の期待値になっているのですが、期待値は0分×0分となる確率+1分×1分となる確率+2分×2分となる確率+...+と求めていくはずだと思うのですが、何故0分から180分までとなる確率にxは全ての通話時間を表すと思うのですが、それを掛けた物が期待値になるんですか？

回答No.3

kittensillabub · ベストアンサー

コメントにフォローする方法がわからないので、回答にて。

>> 一回の通話料の平均値って∫[0→180] 通話料(通話時間) * f(x) で何で求まるのかが分からないです、
>> 通話料ってどういう幅があるんですか？０円から600円まであるんですよね

>> 0円×0円となる確率+10円×10円となる確率+20円×20円となる確率+,,,,+600円×600円となる確率ですよね

この問題においては、

一回の通話料の平均値 = ∫[0→180] 通話料(通話時間) * f(x)

と、

　0円×0円となる確率+10円×10円となる確率+20円×20円となる確率+,,,,+600円×600円となる確率

は同じことです。

おそらく勘違いの根本は、通話料が離散(この表現が正確か疑問ですが)と捉えている点。
通話料は通話時間の確率密度関数と同様に、連続した値である通話時間 xの関数として
定義されていています。決して特定の時間、たとえば0分,3分のみに離散的に定義されて
いるわけではありません。たまたま、例えば、x=[0, 3]の間で一定の値をとっているだけです。

実戦的に、不連続な部分をまたいで一気に積分するのは難しいので、連続な区間に分けて計算し、それぞれの区間の値を合計します。

∫[0→180] 通話料(x) * f(x) dx
　　= ∫[0→3] 通話料(x) * f(x) dx + ∫[3→6] 通話料(x) * f(x) dx + ... + ∫[177→180] 通話料(x) * f(x) dx

　　= Σ[n=1→59] ∫[3(n-1)→3n] 通話料(x) * f(x) dx

　　　　3(n-1)→3n で、通話料(x)は一定で 10n なので

　　= Σ[n=1→59] 10n * ∫[3(n-1)→3n] f(x) dx

ここで
　 ∫[3(n-1)→3n] f(x) dx = 通話料が 10n円となる確率ですね。

お礼

御返答有難うございます

補足

通話時間の期待値の場合は0分×0分となる確率＋1分×1分となる確率+,,,,+180分×180分となる確率が求められるといいのですが、1分となる確率というような物が求められないという事ですよね？そこで確率密度関数のような物を使って0分から1分となる確率という風な幅のある確率は求まるという事なのですが、これを使ってどうやって0分×0分となる確率＋1分×1分となる確率+,,,,+180分×180分となる確率と同じ意味にできるんですか？

回答No.2

kittensillabub

かなり混乱していますが、順番に。

>> (2)と(3)で同じ平均値を求めるのに(3)でΣを使って求めているのがわかりません。

(3)も積分です。ただ、３分毎(通話料が 10n円になる領域)ごとにばらしたので
最終的にΣになっちゃったというだけです。

　1回の通話料の平均値 = ∫[0→180] 通話料(通話時間) * f(x)

通話料(通話時間)は連続じゃないので、積分しやすいように、通話料が連続の部分ごとで積分する。

　∫[0→180] 通話料(x) * f(x) dx = ∫[0→3) 通話料(x) * f(x) + ∫[3→6) 通話料(x) ...
　　　　　　　　　　　　　　　　= Σ[n=1→60]∫[(n-1)*3→3n) 通話料(x) * f(x) dx

ということです。

お礼

御返答有難うございます

補足

一回の通話料の平均値って∫[0→180] 通話料(通話時間) * f(x) で何で求まるのかが分からないです、通話料ってどういう幅があるんですか？０円から600円まであるんですよね

0円×0円となる確率+10円×10円となる確率+20円×20円となる確率+,,,,+600円×600円となる確率ですよね

回答No.1

spring135

確率分布が連続分布か離散分布かを確認する必要があります。

問題において、通話時間は連続分布、猟奇名は３分ごとに10円増しという離散分布で与えられています。

期待値E(x)は連続分布の場合、

E(x)=∫(-∞→∞)g(x)f(x)dx

です。f(x)は確率密度関数（PDF),g(x)はxの関数として決まる量で問題ではx氏のもの、つまり

g(x)=x

です。f(x)は

∫(-∞→∞)f(x)dx＝1

を満たす必要があります。

離散分布ではこのような積分では表せなくて、積分の原点ともいうべき和で表しているわけです。

E(x)=Σ(x=1,2,...∞)g(x)f(x)

問題ではg(x)=10[integer(x/3)+1]となっています。

integerは切り捨てによって整数化するという意味です。

このばあい、

Σ(x=1,2,...∞)f(x)＝1

を満たす必要があります。

お礼

御返答有難うございます

補足

通話時間は0分、1分、2分と離散型という事ですか？だとすると0分の時の確立、1分の時の確立と求めていく必要がありますが、求まらないですよね