確率・期待値

質問

(1)整数１，２，・・，ｎの値をとる離散確率変数Xに対して

E[X] =

n
Σ Pr[X>=K]　　
k=1

を示す

(2)2ｎ人をｎ個のペアに分ける。ペアへの分け方はすべて等確率とする。もし2n人のうち男性と女性がともにｎ人であるとき、男性と女性のペアの数の期待値を求めよ

という期待値の問題がわかりません；；

(1)番：先生はプリントをただ読むだけなので理解がしっかりとできていません（私の努力不足もありますが）。E[X]はXの期待値ということらしいです。右辺はPr（確率）を足し合わせていっているので等式はなりたってそうですが、どうやって示せばいいか・・　よろしくお願いします

(2)番どうやって解けばいいのか見当もつきません。先生はヒントとして
期待値の線形性：
確率変数X,Yに対してE[X+Y] = E[X]+E[Y]が成立する
任意の定数ｃと離散確率変数Xに対し、E[cX] = cE[x]が成立する

というのを使うと言っていました。

回答No.4

kumipapa

確率を求めるところまでで挫折してるんですが・・・。
男女 n 人づつ、計 2n 人いる。
２名づつランダムに組み合わせて、n 組のペアを作る。
n 組のペアのうち、i 組が男女のペア、(n - i) 組が同姓どうしのペアとなる確率を考える。
n が偶数のとき、男女のペアは（０組を含めて）偶数組できる。
n が奇数のとき、男女のペアは１組以上の奇数組できる。
それは置いておいて確率を計算してみると、
ペアの全ての組み合わせの数　(2n)! / { (2^n) n! }
男女からペアとすべき i 人づつ選ぶ組み合わせの数は (n C i)^2 で、それら 2i 人で男女のペアを作る組み合わせの数は、男性の順を固定しておいてそれに対して女性を順列で並べる数だけできるので i! 通り。また、残った (n - i) 人の女性および男性で、女性どうし、男性どうしでペアを作る組み合わせの数は { (n - i)! / ( (2^((n-i)/2)) ((n-i)/2)! ) }^2 通り。
よって、男女のペアが i 組できる確率は、
Pr( i ) = ((n Ｃ i)^2) (i!) { (n - i)! / ( (2^((n-i)/2)) ((n-i)/2)! ) }^2 (2^n) (n!) / (2n)!
　　　= (n!)^3 × (2^i) ／ { (2n)! × (i!) × (((n - i)/2)!)^2 }
　　　= ( (n!)^2 / (2n)! ) ( n Ｃ i ) ( (n-i) Ｃ ((n - i)/2) ) 2^i
（見づらくてごめんなさい）
ここで、先述したように、n が 偶数の時 ( n = 2m, m=1,2,...)、ペアは偶数組 ( i = 2k, k=0,1,2...) でき、n が奇数の時 ( n = 2m+1)、ペアは１組以上の奇数組 ( i = 2k+1 ) できるので・・・
n = 2m のとき、
Pr(i) = ( ((2m)!)^2 / ((4m)!) ) ((2m) Ｃ (2k)) ((2m-2k) Ｃ (m-k)) 2^(2k)
n = 2m+1 のとき、
Pr(i) = ( ((2m+1)!)^2 / ((4m)!) ) ((2m+1) Ｃ (2k+1)) ((2m-2k) Ｃ (m-k)) 2^(2k+1)
と、確率が得られました。
ｎが小さい数字で確認してみましたが、合ってると思う。この期待値、求めてみていただけますか。
ヒントにあった、期待値の線形性ですが、どのように利用するのか・・・？？？
それとも、問題の意味を取り違えているのか。

回答No.3

kumipapa

#2 です。
ごめん、大間違い、とんでもな回答でした。
ちゃんと解き直しますので、ちょっと待って。

お礼

わざわざありがとうございます。

回答No.2

kumipapa

（１）は#1さんがおっしゃるとおり
E[X] = Σ(k=1,n) kPr(X=k)
　　　= Σ(i=1,n){Σ(k=i,n)Pr(X=k)}
　　　= Σ(i=1,n)Pr(X≧k)

（２）は単純に考えて n/2
確率を考えるのだから純粋に場合の数を考える必要はないので、2n 人の人を一列に並べて端から順に２人づつに分けたとき、その２人組みが男女になる確率を考えれば良い。このようにグループ分けをした場合、各組の組み合わせは（並び順も考慮して）男性－男性、男性－女性、女性－男性、女性－女性の４通りで、うち、男女がペアになるのは２組。よって、各組において、男女がペアになる確率は1/2。よって男女がペアになる期待値はn/2

無理に確率変数を引っ張り出すと、Xi (i=1,2...n) をi番目の組が同性ペアなら 0 、男女ペアなら1をとる確率変数列とすると、E[Xi] = 1/2 である。一方、確率変数 X は全体の男女のペア数とすると、X = ΣXi であるから、
E[X] = E[ΣXi] = ΣE[Xi] = n/2

回答No.1

zk43

とりあえず、(1)だけパッと見でわかったので(1)だけ。
E[X]
=1×Pr(X=1)+2×Pr(X=2)+3×Pr(X=3)+…+n×Pr(X=n)
=Pr(X=1)
+Pr(X=2)+Pr(X=2)
+Pr(X=3)+Pr(X=3)+Pr(X=3)
+…
+Pr(X=n)+Pr(X=n)+Pr(X=n)+…+Pr(X=n)
ここで、縦に足す。
E[X]
=Pr(X=1)+Pr(X=2)+Pr(X=3)+…+Pr(X=n)
+Pr(X=2)+Pr(X=3)+…+Pr(X=n)
+Pr(X=3)+…+Pr(X=n)
+…
+Pr(X=n)
=Pr(X≧1)+Pr(X≧2)+Pr(X≧3)+…+Pr(X≧n)
=Σ(k:1→n)Pr(X≧k)

お礼

なるほど、まずは＝にして考えていくのですか・・・ありがとうございます。　本当に助かりました。　

これを参考にして2番がんばって解いてみようかと思います。