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確率の問題です。
少し前に確率の質問をさせていただいたのですが、、 もう一つ・・・。 ちょっと手も足もでないので、 ほんとにまるっと解説をお願いしたいです。 AとBが試合を行う。試合は5セットからなり、先に3セットを取った方が勝ちである。 セットに引き分けはなく、Aがセットを取る確率は2/3、Bがセットを取る確率は1/3とする。 (1)3セット目で勝敗が決定する確率をもとめよ。 (2)4セット目で勝敗が決定する確率をもとめよ。 (3)勝敗が決定するまでにセット数の期待値をもとめよ。 です・・・。 明日提出しなきゃならないプリントなのですが 全然わからないので、どなたか助けてください。
- aozyousama
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- 数学・算数
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まず、試合状況を以下の様に表現して、条件に合う場合を列挙していくことから始めたらどうでしょう。 各セットで勝った方を順に並べてみる。ABAAのように (1)3セット目で勝敗が決定する場合の列挙 AAAとBBBの2通りですね。 それぞれの起こる確率を計算して合計すれば良い。AAAとBBBは同時には起こりませんから確率は和をとれば良いのです。 AAAとなる確率は (2/3)*(2/3)*(2/3)です。 BBBとなる確率は (1/3)*(1/3)*(1/3)です。 (2)4セット目で勝敗が決定する場合の列挙 (1)と同様に列挙して見てください。例えば、AABAです。確率は(2/3)*(2/3)*(1/3)*(2/3)です。 AAABを入れてはいけませんよ。 (3)はちょい面倒ですね。 勝敗が決するまでのセット数は、3か4か5ですね。3と4の確率は(1)(2)で求めました。 同様に5セットで決する場合の確率を求めましょう。全部の確率を足すと1になります。計算が合ってるかどうか確かめることができます。 セット数の期待値の求め方は分かりますよね。 以上 がんばってみてください。
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- yyssaa
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(1)3セット目で勝敗が決定する確率をもとめよ。 勝ちがA,A,A又はB,B,Bと続く3連勝の場合です。 Aの3連勝の確率は(2/3)^3=8/27 Bの3連勝の確率は(1/3)^3=1/27 よって答えは8/27+1/27=9/27となります。 (2)4セット目で勝敗が決定する確率をもとめよ。 3セットを終わった時点で2勝1敗の方が4セット目に 勝つ確率ですから、Aが2勝1敗の場合とBが2勝1敗の場合に 分けて考えます。 Aが2勝1敗となる確率=(3C2)(2/3)^2(1/3)=4/9 Bが2勝1敗となる確率=(3C2)(1/3)^2(2/3)=2/9 よって答えは(4/9)(2/3)+(2/9)(1/3)=8/27+2/27=10/27 となります。 (3)勝敗が決定するまでのセット数の期待値をもとめよ。 引き分けがないので、5セット目までに必ず勝敗が決まります。 従って、5セット目で勝敗が決定する確率は1から3セット 目で勝敗が決定する確率と4セット目で勝敗が決定する確率 を引いた値になり、1-9/27-10/27=8/27となります。 よって求める期待値は3*9/27+4*10/27+5*8/27=107/27 =3+26/27≒3.96セットとなります。
お礼
遅くなりました;; ご回答どうもありがとうございました!!
- NemurinekoNya
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No.4です。 (3)で5セット目で勝負が決まる確率P5を求めるとき 5セット目で決まる場合は 4セット終了の時点でAが2セット、Bが2セットとっている場合なので P5 = 4C2*(2/3)^2*(1/3)^2 = 8/27 とした方がいいかも。 いずれにせよ、確率の和、つまりP3+P4+P5=1となることが大切。 ならなければ、P3、P4、P5の計算を間違えています。
お礼
おかげさまでだせました。 すごく 遅くなりましたが、 ご回答どうもありがとうございました!!
- NemurinekoNya
- ベストアンサー率50% (540/1073)
僕は計算をよく間違えるから、計算しなきゃならない問題はやりたくないんだけれど… (1) Aが三回連続でセットを取る場合の確率 (2/3)^3 = 8/27 Bが三回連続でセットを取る場合の確率 (1/3)^3 = 1/27 この二つは排反なので、3セット目で勝負が決まる確率P3 P3 = 8/27 + 1/27 = 1/3 (2)4セット目で決まる場合 Aの場合 Aの場合は、3セット終了時点でAが2セット取っていて、次にAがセットをとればいい この確率は 3C2*(2/3)^2*(1/3)*(2/3) = 8/27 (3C2は3個から2個取る組み合わせの数) Bの場合 同様に考えればいいから 3C2*(1/3)~2*(2/3)*(1/3) = 2/27 この二つは排反だから、求めるべき確率P4は P4 = 8/27+2/27 = 10/27 (3)勝敗が決定するまでにセット数の期待値をもとめよ。 まず、5セット目で勝負の決まる確率を求める 勝負は、3セット目できまるか、4セット目で決まるか、5セット目で決まるかのいずれかの場合 ということで、5セット目で勝敗が決する確率をP5とすると P3 + P4 + P5 = 1 P5 = 1 - P3 -P4 = 1 - 1/3 -10/27 = 8/27 よってセット数の期待値は 3*(1/3) + 4*(10/27) + 5*(8/27) = 107/27 回答で計算間違いをしていないか、ちゃんとチェックしてよね。
- etranger-t
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ANo.2です。訂正します。 すみません、先ほどの(3)の期待値を33%とお答えしましたが、正しくは、3.3セットです。
お礼
いえいえ; 遅くなりましたが、、、 ご回答どうもありがとうございました!!
- etranger-t
- ベストアンサー率44% (769/1739)
(1)については、先に3セット取った方が勝ちなので、AかBのどちらかが全勝すれば良いということなので、その確率は、 Aが全勝する確率 2/3×2/3×2/3=8/27 Bが全勝する確率 1/3×1/3×1/3=1/27 の2パターンなので、 8/27+1/27=9/27=1/3 となります。 (2)はA、B共に3勝1敗するということですから、 Aが3勝1敗する確率 2/3×2/3×2/3×1/3=8/81 Bが3勝1敗する確率 1/3×1/3×1/3×2/3=2/81 8/81+2/81=10/81 (3)最大が5セットなので、1~5セットまでAとBの確率を掛けていく。 1×2/3×1/3+2×2/3×1/3+3×2/3×1/3+4×2/3×1/3+5×2/3×1/3=30/9となり、期待値は約33% 間違っていましたら、すみません。
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遅くなりましたが、、、 ご回答どうもありがとうございました!!