コンパクトの問題

質問

「コンパクト空間の無限集合は必ず集積点を持つ。」を証明する問題で、有限交差性に基づく証明をする際、
「Aをコンパクト空間の無限集合とし、背理法で示す。Aは集積点を持たないとする。｛x_1、x_2・・・｝⊆Ａをとる。各ｎについてＦ_ｎ＝｛ｘ_n、ｘ_n+1・・・｝とおくと、これは閉集合。F_n1∩F_n2∩・・・∩F_nk＝F_n≠φ（n=Max(n_1,n_2・・・，n_k)）なので、｛Ｆ_n｝は有限交差性を持つ。しかし、∩_ｎ=1～∞　Ｆ_ｎ＝φより、これはコンパクトなことに矛盾。」
としてあります。
分からない点は、(1)n=Max(n_1,n_2・・，n_k)で、これはなにを意味するのか？
(2)しかし、∩_n=1~∞　Ｆ_n＝φとあるが、なぜ、当たり前のように書かれてあるのか？当たり前のことなのか？
以上の二つです。
よろしくお願いします。

回答No.1

uyama33 · ベストアンサー

(1)n=Max(n_1,n_2・・，n_k)

これは、n　が　｛n_1,　n_2　・・，　n_k｝　の中で
最大の数であることを意味します。

（２）　∩_n=1~∞　Ｆ_n＝φ
については、
　もし、空集合でないならば、ある　ｘ_n０　でどの
∩F_nk　にも含まれるものがあることになります。
この要素は、最初の集合｛x_1、x_2・・・｝の中にあります。
この書き方は、この集合が可付番集合（加算無限）であることを
意味する書き方です。
　従って、この集合に属する　ｘ_n０　には自然数での番号が
付いています。
Ｆ_ｎ＝｛ｘ_n、ｘ_n+1・・・｝　ですので
最初の方からだんだん減っていくので、

ｘ_n０　についている自然数よりもおおきな番号を持つ
Ｆ_ｎ＝｛ｘ_n、ｘ_n+1・・・｝　には　ｘ_n０　は入っていません。

従って、共通部分にずっと入っているような要素は存在しない。
無限大まで共通部分を取れば全てがふるい落とされて
結局、空集合になってしまいます。

当然と言えば当然です。

お礼

ありがとうございました。たしかに、よくよく考えれば、(２)は当然なのかもしれませんね。
＞加算無限　　これは可算無限ではないのですよね？
また、(１)でMaxの意味はもちろんわかるのですが、ｎがｎ1，n2，・・，nkの最大ということが何を意味するのかがわからないというか。上手く表現できません。。。F_n1とかは、F_nのなんなのかが分からないのです。

回答No.6

nakaizu

F_nは点集合の閉包と勘違いしていました。単純な点の集合ですので、(2)はあきらかです。
そうするとF_nが閉集合であることを別に示す必要があります。(自明に近いことかもしれませんが、集積点があるときにはF_nが閉集合にならないこともあるので念のために)

お礼

はい、ありがとうございます。Ｆ_nが閉集合を示すのは、背理法から示すことができました。

回答No.5

鳴瀬 美幸（@naruse）

（２）　∩_n=1~∞　Ｆ_n＝φ
に関してはuyama33さんの説明の通り(F_nの定義を用いる）であって、
No4の説明は不備を含みます。但し、
「∩_n=1~∞　Ｆ_n∋x となる xが存在するとxはAの集積点になる」
は前提条件が正しくない（この共通部分は空だからxは存在しない）
ので結論は何であっての「」内の主張は（たまたま）正しいのですが、、、

しかし、このことはあくまでもこの証明中のF_ｎに対して成り立つことであって、「」内のみを独立させた命題としたときは一般的には成り立ちません。

回答No.4

nakaizu

(1)の疑問は解決しましたか?
(2)については下で回答された方の説明が少しおかしいので、アドバイスします。
∩_n=1~∞　Ｆ_n∋x となる xが存在するとxはAの集積点になる(集積点の定義をよく見て下さい)のですが、仮定によりAには集積点がないのでこのようなxはありません。
実際にはAには集積点があるので、∩_n=1~∞　Ｆ_n はAの集積点の集合になるはずです。

どこまで理解されているのか分からないので、この説明で理解されるかどうか分かりませんが。

お礼

解答ありがとうございます。(１)の方が少し理解できません。また、なぜ集積点になるのかわかりません。任意のｘの近傍Uに対して、（U＼｛ｘ｝）　∩_ｎ=１~∞F_n　≠　φ　ですよね？？果たして存在するのか？？

回答No.3

uyama33

岩波書店から　位相空間　　と言う本が出ています。
著者を忘れました。
　厚くて難しそうな本です。
この本では、コンパクトの定義が
この問題の形で書いてあったと思います。

とにかく、コンパクトの定義や
性質をもう一度、本を見て確認して下さい。

回答No.2

uyama33

可算無限　の意味でした。
文字を間違えました。

補足します。

有限交差性を持つ集合の族を作ったのです。
F_n1∩F_n2∩・・・∩F_nk　この共通部分は
この中の、番号が最大なものに一致すると言っているのです。
それが　F_n　です。

　共通部分が、その中の一つに一致するとは限らないのがふつうですが、
Ｆ_n の作り方から、一致するのです。

補足

ということは、「F_n1∩F_n2∩・・・∩F_nk＝F_n＝φとすると、｛F_n｝は有限交差性を持つが、∩_n=1~∞　F_n＝φとなるので矛盾」ということなんですかね？有限交差性を持つと仮定しても、無限大まで飛ばすと共通分がないということなんですか？