コンパクト空間Xの離散部分集合A

質問

コンパクト空間Xの離散部分集合Aは有限集合であると無条件にいえるのでしょうか？

できない場合、Xにどのような条件が必要になるのでしょうか？

回答No.2

waseda2003

離散部分集合Ａ自体がコンパクトならば（有限被覆が取り出せるので）有限集合ですが，
一般にコンパクト集合の部分集合はコンパクトではありません。
そのため，Ｘが閉区間［0，1］，Ａ={1/n｜n∈Ｎ} などの反例が出てきてしまいます。

「コンパクト空間の閉部分集合がコンパクトである」ことなら成り立ちますので，
サポート自体はコンパクトとなって，離散集合なら有限集合になりそうですね。

なぜ，はじめから「コンパクト空間の閉部分集合」という仮定があるのを言わな
かったのですか？これは本質的にはずせない仮定だと思います。

補足

supportが閉であることはどうやって言うのでしょうか?

回答No.1

arrysthmia

言えない。

例えば、
円周に、中心角を距離とした位相を入れたもの
を X とする。(S1 と呼ばれることが多い。)
これの部分集合
A =｛ (cosθ,sinθ) : 2π/θは自然数 ｝
は、どうなっている？

お礼

実はXがコンパクトリーマン面のとき、X上の因子Dのサポートが有限集合であることがいいたいのですが、、。