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X:n次ユークリッド空間 R^n

X:n次ユークリッド空間 R^n U:密着位相,離散位相でない位相 とします. このとき,∀x∈Xに対し,{x}を考えたとき,{x}は(X,U)内で開集合になりますか? 開集合の定義は,(X,U)が位相空間であるとき,Uの元のことを言うのだと思うのですが,これは位相Uの作り方によって変わってきますよね? xをXから任意に選んできても,{x}を含むように位相Uを作れば,そのUを位相とする位相空間(X,U)内であれば{x}は開集合ですか? もし離散空間であれば明らかに{x}は開集合ですし,密着空間であれば{x}は開集合でないと言えます.しかし上記のような位相の場合は,一概には言えないという解釈でいいのですか?というより,先にある位相空間が与えられていて,それに対して{x}が開集合かどうかという話でしょうか? 長々とすいませんが,よろしくお願いいたします.

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Rを実数の集合とする R+={x|x>0},R-={x|x≦0} U={A∪B|(A=R+又はA=φ)&(B⊂R-)} とすると R=(R+)∪(R-)∈U, φ=φ∪φ∈U V_1,V_2∈U → V_1∩V_2∈U (V_λ)_{λ∈Λ}⊂U → ∪_{λ∈Λ}V_λ∈U だから U は位相 {0}⊂R- {0}∈U {0}は開 {1}を含む最小の開集合はR+だから{1}は開でない Uは密着位相でも離散位相でもない

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