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連立方程式の解の集合が部分空間となる
x1 - x3 = 0 8x1 + x2 - 5x3 - x4 = 0 x2 + 4x3 - ax4 = 0 x1 - x2 - 3x3 + 2x4 = b という連立1次方程式があり、 すべての解の集合が４次元実ベクトル空間の部分空間となるときのaとbの条件を求めよ という問題があるんですが、 問題の意味がいまいちよく分からないのですが、 これはどのようにして解けばいいんでしょうか？ ベクトルについての理解が少し足りないので部分空間や解空間について調べてみてもいまいちよく分からないんです。
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素直な練習問題だと思います。方程式の係数行列の行列式をDとし、解の集合をXとすると、 ● D≠0の場合にはフツーにひとつの解があるわけで、 b≠0ならXは1個の解から成る集合。ただしその解が(0,0,0,0)でないことは確か。 b=0のときは、X={(0,0,0,0)} ● D=0の場合 b≠0のときは、X=φ (φは空集合のこと）。つまり解がない。 b=0 のとき、解は無限個ある。u,v,wを互いに一次独立の０でないベクトル、r,s,tを任意の実数とするとき、Xが4次元実ベクトル空間中の 1次元超平面つまり直線 {ru} になるか、 2次元超平面 {ru+sv} になるか、 3次元超平面 {ru+sv+tw} になるか、 それとも全空間になるか、 その区別は係数行列のrankで決まる。 と、ここまでは問題を一瞥しただけで分かります。 なので、 > (1) a = b = 1のときに解は存在するか。存在すれば、その解を求めよ。 できればa = b = 1を先に代入しないでa,bのまんま解くと、以下の問いも具体的に捉えられて分かりやすいんじゃないかな。解の分母はDに比例するから、D=0となる条件(aが幾らのときであるか）が分かる。 > (2) 解がx1 = x2 = x3 = x4 = 0 のみとなるaとbの条件を求めよ。 D≠0, b=0のとき。 > (3) 解を持たないときのaとbの条件を求めよ。 D=0, b≠0のとき。 > (4) 解が無限個存在するときのaとbの条件を求めよ。 D=b=0のとき。 > (5) すべての解の集合が4次元実ベクトル空間の部分空間になるときのaとbの条件を求めよ。 これは「部分空間」の定義を知らないとどうにもならない。実ベクトル空間の部分空間ってのは、実ベクトル空間Vの部分集合Wであって、任意のu,v∈Wと任意の実数kについて、u+vもkuもWの要素になってるWを言う。 ってことは、解の集合Xが部分空間になるのは D=b=0のときだけじゃなくて、 D≠0,b=0のとき(X={(0,0,0,0)})もそうだし、それから、 D=0,b≠0のとき(Xは空集合)も。確かに定義を満たしているでしょ。 しかしD≠0, b≠0の場合には、Xは空集合ではなく、しかも(0,0,0,0)を含まないから、Xは部分空間になっていない。
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>(全然勘定せずに書き込んでます。あとはよろしく) ヒマになり、童心にかえって消去法を試みました。 途中を省くと、 {a/(a-1)}*x1 = b a=0 なら b=0 で x1 は不定。 x2 = {(4-3a)/(a-1)}*x1 x3 = x1 x4 = 3*x1 +x2 どうやら部分空間解は、 | 1 | | -4 | | 1 | * x1 | -1 | らしい。 …ということは、スタート・ポイントにもどってしまった、ということなのでしょうか？
>....... >a = 0 かつ b = 0のときが答えになると思うのですが、 >これだと(5)の答えとかぶってしまうんじゃないかと。 当方も、最初そう思いこんでました。 a = 0 かつ b ≠ 0 を見逃してたのです。 (4) にてこのアファイン空間解を出し、b = 0 で部分空間、という筋書きなのでは？ (全然勘定せずに書き込んでます。あとはよろしく)
>(4)はどうなるんでしょうか？ (4) の答案には、「部分空間(b=0)」と「アファイン空間(b≠0)」の両方があるのですか？ それとも？
お礼
(4)を解くときに a = 0 かつ b = 0のとき 係数行列と拡大係数行列の階数が3で等しくなり、解が無限個存在する としていて、 a ≠ 0 かつ b ＝ 0 a ≠ 0 かつ b ≠ 0 のときは階数が4で等しくなると思うのですが、 こちらは階数が4で等しくなるため解は1つしか存在しないので a = 0 かつ b = 0のときが答えになると思うのですが、 これだと(5)の答えとかぶってしまうんじゃないかと。 よくわからなくなってきました・・・
>....... >(4) 解が無限個存在するときのaとbの条件を求めよ。 >(5) すべての解の集合が4次元実ベクトル空間の部分空間になるときのaとbの条件を求めよ あ、問題を誤解してました。 問題はおかしくありません。 ・ b≠0 だと、解集合が部分空間にならない。(部分空間に随伴したアファイン空間になる) …ので b = 0 として、係数行列の階数(rank)が 3 以下になるよう a を決めるのでしょうね。
補足
あれっ？ それが解が無限個ある状態だと思ってました・・・ それが(5)の答えだとすると(4)はどうなるんでしょうか？ 何度も申し訳ないです。
「係数行列と拡大係数行列のrankが等しければ解が存在する」わけですが、その解は部分空間じゃなくて、ワンポイントですね。 「この問題の前の小問で解が無限個存在するときのa,bの条件はすでに求めて」あれば、その解が部分空間になっているのでは？ …それにしては、問題の構成がおかしいような気もします。 はて、原題は？
補足
aとbを実定数とし、x1,x2,x3,x4を未知数とする連立1次方程式 x1 - x3 = 0 8x1 + x2 - 5x3 - x4 = 0 x2 + 4x3 - ax4 = 0 x1 - x2 - 3x3 + 2x4 = b に関して以下の(1)～(5)に答えよ。 (1) a = b = 1のときに解は存在するか。存在すれば、その解を求めよ。 (2) 解がx1 = x2 = x3 = x4 = 0 のみとなるaとbの条件を求めよ。 (3) 解を持たないときのaとbの条件を求めよ。 (4) 解が無限個存在するときのaとbの条件を求めよ。 (5) すべての解の集合が4次元実ベクトル空間の部分空間になるときのaとbの条件を求めよ。 これが原題ですね。 問題がおかしいんでしょうか？
- パんだ パンだ（@Josquin）
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与えられた４元の連立方程式に「解が存在するときのa, bの条件を求めよ。」を難しい言葉で書いてあるだけです。
補足
解が存在するというのは解が無限に存在する場合も含むのでしょうか？ 係数行列と拡大係数行列のrankが等しければ解が存在すると思うんですが、 この問題の前の小問で解が無限個存在するときのa,bの条件はすでに求めていて この問題ではそのときの場合も含めたものを解答すればいいんですか？
お礼
なるほど。 非常に分かりやすかったです。 ありがとうございました！ rankがどうのこうのっていうより行列式が0かどうか っていうほうが分かりやすくていいですね。 まあ言っていることは同じなんでしょうけど。