有限個の要素からなる位相空間は、コンパクトかつ離散的でしょうか？

質問

有限個の要素からなる位相空間は、コンパクトかつ離散的でしょうか？

回答No.3

zk43 · ベストアンサー

集合に入る最大の位相は部分集合全体、すなわちべき集合で、
有限集合のべき集合はやはり有限集合である。

したがって、どんな位相を入れて、どんな被覆をとったとしても
有限被覆が選べるので、コンパクトということになる。

離散的というのはどんな異なる２点をとったとしても、それぞれの
２点を含む開集合で交わらないものがとれるというハウスドルフの
ことですか？分離できるという意味？
これは位相の入れ方によるので何とも言えません。
たとえば空集合と全体集合だけからなる位相を入れたときはだめとか。
それとも他の意味で離散的ということを使っている？

回答No.2

rinkun

離散的をいうには分離公理を満たす必要はありますね。
開集合が有限個しかない以上、コンパクトは間違いないでしょうけど。

回答No.1

koko_u_

有限個の要素からなる位相空間とは、有限集合に位相を入れたもののことですか？
有限集合にどのような位相が入るか考えましたか？