可測空間と位相空間の関係

質問

基本的なことだと思うのですが、どうしてもわからず質問させて頂きます。
測度論を勉強しているのですが、可測空間と位相空間の関係がわかりません。

非空な集合Xを用いて、そのσ代数Σと開集合系τをそれぞれ定義します。
そうするといずれもφとXを含み、（ド・モルガンの法則を用いて）有限のunionにもとじ、任意のunionにも閉じているので、同じようにみえます。

テキストを見ると、位相の構造の入ったσ代数をボレルσ代数としていますが、ボレルσ代数にならないσ代数が存在しない気がします。

初歩的なことかもしれなく恐縮ですが、教えていただければと思います。

回答No.2

rinkun · ベストアンサー

ANo.1です。ぼけてました。
σ代数は加算合併については閉じているけど任意合併には閉じてないですね。
一般にσ代数が開集合系の条件を満たすことはないです。
# σ代数では加算個の合併は入っているけど任意個の合併は入ってない

ボレルσ代数を含む開集合系を作ると、ほとんどの場合には離散位相になってしまいますね。
# 1点が閉集合ならボレルσ代数にも含まれるので、それを開集合とみなすと、離散位相しかない

あとはANo.1の通り、一般の位相空間に対して開集合を全て含む最小のσ代数をボレルσ代数と言います。

お礼

ご回答ありがとうございます。
そうですね。σ代数は加算な集合族になるということを読み落としていました。
ありがとうございます。おかげですっきりしました。

初歩的なことだと思うのですが、いつも僕は最初の段階で悩むので本当に助かりました。

回答No.1

rinkun

一般にσ代数は開集合系の性質を満たしますが、位相空間としては特殊すぎるでしょう。

普通はあらかじめ開集合系が定義された位相空間に対して別途σ代数を考えます。
そのとき、位相空間の開集合を全て含む最小のσ代数をボレルσ代数と言います。

σ代数が先にあって、それをボレルσ代数にするような位相空間を考えることも可能ですが
あまり面白くないでしょう。