コンパクトの判定についての質問

質問

こんにちは。
B^2 = ｛(x,y)∈R^2 | x^2 + y^2 ≦1｝
がコンパクトかどうかハイネボレルの定理を使わないで判定せよ

という問題がわかりません。
ハイネボレルの定理から多分コンパクトなんだろうけど、それをどうやってハイネボレルを使わないで証明したらよいのでしょうか？？

定義に基づいてやろうとしたのですが、開被覆としてU_n=((0,0),1-(1/n)) n∈Nを考えたのですが、これでは有限個の和集合でB^2が作れなくて困ってます。
どなたかアドバイスお願いします

回答No.4

kabaokaba

＞これはＵがclosed cover ofＸのときでもいいのでしょうか？？

なんでそんなことを考えるの？
定義を書き換えてはいけません．

もっと簡単な問題にしましょう
ハイネボレル
（コンパクトなら有界閉，有界閉ならコンパクト）を
使わずに
閉区間 [0,1] がコンパクトであることを示せ．
ただし，実数には普通の位相をいれる．
ヒント：背理法と実数の位相の定義

回答No.3

kabaokaba

コンパクトの定義そのものを
まったく理解してないようなので，
まずは
正しく定義を書いてみましょう

補足

X is compact ⇔def
∀Ｕ:open cover of X ,∃U_1,・・・,U_n∈Ｕ s.t.X=U_1 ∪・・・∪ U_n

と教わりました。
これはＵがclosed cover ofＸのときでもいいのでしょうか？？

回答No.2

koko_u_

>原点(0,0)の1-(1/n)近傍のことです

どう考えても開被覆になっていませんよね。

回答No.1

koko_u_

>開被覆としてU_n=((0,0),1-(1/n)) n∈Nを考えたのですが

どんな開被覆なのかまるでわかりません。

補足

すいません。表記が間違ってました。
U_n=B((0,0),1-(1/n)) n∈N
で、原点(0,0)の1-(1/n)近傍のことです